No laboratório de metrologia foram feitas oito medições de resistência elétrica em um resistor R, encontrando os seguintes valores:
Considerando a distribuição dessa amostra como pertencente a uma distribuição normal, determine:
Medições R[\Omega] Medições R[\Omega]
1 199,8 5 199,9
2 200,4 6 200,3
3 200,1 7 200,3
4 200,1 8 199,9
a) O valor médio da resistência medida ( 0,5 \mathrm{pt} )
b) A incerteza padrão das medidas ( 0,5 \mathrm{pt} )
c) A incerteza padrão da média das medidas ( 0,5 \mathrm{pt} )
d) O resultado da medição considerando como resultado base a média das medidas e a incerteza de medição como a precisão da média para uma probabilidade de 95,45 \%(1,0 \mathrm{pt})

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, que vou listar com clareza, e dá os oito valores medidos da resistência R:
a) calcular o valor médio das medições;
b) calcular a incerteza padrão das medidas (desvio padrão amostral);
c) calcular a incerteza padrão da média (erro padrão da média);
d) apresentar o resultado final usando como incerteza a precisão da média para probabilidade de 95,45\%.
As medições fornecidas são:
R_1=199,8,\; R_2=200,4,\; R_3=200,1,\; R_4=200,1,\; R_5=199,9,\; R_6=200,3,\; R_7=200,3,\; R_8=199,9\\ (\Omega).

Passo 2

Cálculo da média aritmética das medições. A média amostral \bar{R} é dada por
\bar{R}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}R_i,
onde n é o número de medições (aqui n=8) e R_i são os valores medidos. Vou somar os valores e dividir por 8:
\sum_{i=1}^{8}R_i = 199,8+200,4+200,1+200,1+199,9+200,3+200,3+199,9 = 1600,8.
Então
\bar{R}=\frac{1600,8}{8}=200,1\\ (\Omega).
Interpretação: 200,1\\ \Omega é o valor central das medições — o ponto que melhor resume os oito resultados.

Passo 3

Cálculo da incerteza padrão das medidas (desvio padrão amostral). A fórmula do desvio padrão amostral s (estimador sem viés) é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(R_i-\bar{R})^2}.
Aqui n-1 aparece porque, ao usar a média amostral \bar{R}, perdemos um grau de liberdade; essa correção torna o estimador não tendencioso (explicação intuitiva: com a média calculada a partir dos mesmos dados, as diferenças possuem soma zero e precisamos corrigir a divisão).
Agora calculo as diferenças e seus quadrados (tudo em \Omega):
\begin{aligned} R_1-\bar{R} &= 199,8-200,1 = -0,3 &\Rightarrow&\; (R_1-\bar{R})^2 = 0,09,\\\ R_2-\bar{R} &= 200,4-200,1 = +0,3 &\Rightarrow&\; (R_2-\bar{R})^2 = 0,09,\\\ R_3-\bar{R} &= 200,1-200,1 = 0,0 &\Rightarrow&\; (R_3-\bar{R})^2 = 0,00,\\\ R_4-\bar{R} &= 200,1-200,1 = 0,0 &\Rightarrow&\; (R_4-\bar{R})^2 = 0,00,\\\ R_5-\bar{R} &= 199,9-200,1 = -0,2 &\Rightarrow&\; (R_5-\bar{R})^2 = 0,04,\\\ R_6-\bar{R} &= 200,3-200,1 = +0,2 &\Rightarrow&\; (R_6-\bar{R})^2 = 0,04,\\\ R_7-\bar{R} &= 200,3-200,1 = +0,2 &\Rightarrow&\; (R_7-\bar{R})^2 = 0,04,\\\ R_8-\bar{R} &= 199,9-200,1 = -0,2 &\Rightarrow&\; (R_8-\bar{R})^2 = 0,04. \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{8}(R_i-\bar{R})^2 = 0,09+0,09+0+0+0,04+0,04+0,04+0,04 = 0,34.
Agora aplico a fórmula:
s=\sqrt{\frac{0,34}{8-1}}=\sqrt{\frac{0,34}{7}}=\sqrt{0,048571\ldots}=0,2204\ldots\\ \Omega.
Arredondando de forma prática para relatório, s\approx 0,22\\ \Omega. Interpretação: esse s quantifica a dispersão típica das medições individuais em torno da média.

Passo 4

Cálculo da incerteza padrão da média (erro padrão da média). A incerteza da média u_{\bar{R}} diz o quanto a média amostral \bar{R} provavelmente difere do verdadeiro valor esperado; a relação é
u_{\bar{R}}=\frac{s}{\sqrt{n}},
onde s é o desvio padrão amostral e n o número de medições. Substituindo:
u_{\bar{R}}=\frac{0,2204\ldots}{\sqrt{8}}=\frac{0,2204\ldots}{2,828427\ldots}=0,0780\ldots\\ \Omega.
Arredondando, u_{\bar{R}}\approx 0,078\\ \Omega. Interpretação prática: se repetíssemos o conjunto de oito medições muitas vezes, as médias obtidas teriam desvio típico de cerca de 0,078\\ \Omega em torno do valor esperado.

Passo 5

Obter a incerteza expandida para probabilidade 95,45\% e escrever o resultado final. Para uma distribuição normal, a probabilidade de 95,45\% corresponde a aproximadamente \pm 2 vezes o desvio padrão (ou seja, fator de cobertura k=2). Assim a incerteza expandida U é
U = k\,u_{\bar{R}} = 2\cdot u_{\bar{R}} = 2\cdot 0,0780\ldots = 0,1561\ldots\\ \Omega.
Arredondando convenientemente para relatório, U\approx 0,16\\ \Omega.
Logo o resultado da medição, tomando a média como valor central e a incerteza de medição como a precisão da média para 95,45\% de confiança, fica
\bar{R}\pm U = 200,1\\ \Omega \pm 0,16\\ \Omega\quad(95,45\%\\ \text{de confiança}).ç
Observação prática rápida: para amostras pequenas pode-se usar o fator de cobertura baseado na distribuição t em vez de 2; nesse caso o valor de U mudaria um pouco, mas o enunciado pede explicitamente a probabilidade 95,45\% que corresponde ao intervalo de \pm 2 desvios para a distribuição normal, por isso usei k=2.

Passo 6

Recapitulando numericamente (antes do resumo final):
média \bar{R}=200,1\\ \Omega;
desvio padrão amostral s\approx 0,2204\\ \Omega (relato como 0,22\\ \Omega);
erro padrão da média u_{\bar{R}}\approx 0,0780\\ \Omega;
incerteza expandida U\approx 0,16\\ \Omega para 95,45\%.
Força aí — você já tem todos os cálculos prontos para copiar na prova e explicar cada passo se pedirem!

Resposta

a) \bar{R}=200,1\\ \Omega
b) s=0,22\\ \Omega
c) u_{\bar{R}}=0,078\\ \Omega
d) 200,1\\ \Omega \pm 0,16\\ \Omega (confiança 95,45\%)

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