No laboratório de metrologia foram feitas oito medições de resistência elétrica em um resistor R, encontrando os seguintes valores:
Considerando a distribuição dessa amostra como pertencente a uma distribuição normal, determine:
Medições
R[\Omega]
Medições
R[\Omega]
1
199,8
5
199,9
2
200,4
6
200,3
3
200,1
7
200,3
4
200,1
8
199,9
a) O valor médio da resistência medida ( 0,5 \mathrm{pt} )
b) A incerteza padrão das medidas ( 0,5 \mathrm{pt} )
c) A incerteza padrão da média das medidas ( 0,5 \mathrm{pt} )
d) O resultado da medição considerando como resultado base a média das medidas e a incerteza de medição como a precisão da média para uma probabilidade de 95,45 \%(1,0 \mathrm{pt})
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas, que vou listar com clareza, e dá os oito valores medidos da resistência R:
a) calcular o valor médio das medições;
b) calcular a incerteza padrão das medidas (desvio padrão amostral);
c) calcular a incerteza padrão da média (erro padrão da média);
d) apresentar o resultado final usando como incerteza a precisão da média para probabilidade de 95,45\%.
Aqui n-1 aparece porque, ao usar a média amostral \bar{R}, perdemos um grau de liberdade; essa correção torna o estimador não tendencioso (explicação intuitiva: com a média calculada a partir dos mesmos dados, as diferenças possuem soma zero e precisamos corrigir a divisão).
Agora calculo as diferenças e seus quadrados (tudo em \Omega):
Arredondando de forma prática para relatório, s\approx 0,22\\ \Omega. Interpretação: esse s quantifica a dispersão típica das medições individuais em torno da média.
Passo 4
Cálculo da incerteza padrão da média (erro padrão da média). A incerteza da média u_{\bar{R}} diz o quanto a média amostral \bar{R} provavelmente difere do verdadeiro valor esperado; a relação é
u_{\bar{R}}=\frac{s}{\sqrt{n}},
onde s é o desvio padrão amostral e n o número de medições. Substituindo:
Arredondando, u_{\bar{R}}\approx 0,078\\ \Omega. Interpretação prática: se repetíssemos o conjunto de oito medições muitas vezes, as médias obtidas teriam desvio típico de cerca de 0,078\\ \Omega em torno do valor esperado.
Passo 5
Obter a incerteza expandida para probabilidade 95,45\% e escrever o resultado final. Para uma distribuição normal, a probabilidade de 95,45\% corresponde a aproximadamente \pm 2 vezes o desvio padrão (ou seja, fator de cobertura k=2). Assim a incerteza expandida U é
Arredondando convenientemente para relatório, U\approx 0,16\\ \Omega.
Logo o resultado da medição, tomando a média como valor central e a incerteza de medição como a precisão da média para 95,45\% de confiança, fica
\bar{R}\pm U = 200,1\\ \Omega \pm 0,16\\ \Omega\quad(95,45\%\\ \text{de confiança}).ç
Observação prática rápida: para amostras pequenas pode-se usar o fator de cobertura baseado na distribuição t em vez de 2; nesse caso o valor de U mudaria um pouco, mas o enunciado pede explicitamente a probabilidade 95,45\% que corresponde ao intervalo de \pm 2 desvios para a distribuição normal, por isso usei k=2.
Passo 6
Recapitulando numericamente (antes do resumo final):
média \bar{R}=200,1\\ \Omega;
desvio padrão amostral s\approx 0,2204\\ \Omega (relato como 0,22\\ \Omega);
erro padrão da média u_{\bar{R}}\approx 0,0780\\ \Omega;
incerteza expandida U\approx 0,16\\ \Omega para 95,45\%.
Força aí — você já tem todos os cálculos prontos para copiar na prova e explicar cada passo se pedirem!
Resposta
a) \bar{R}=200,1\\ \Omega
b) s=0,22\\ \Omega
c) u_{\bar{R}}=0,078\\ \Omega
d) 200,1\\ \Omega \pm 0,16\\ \Omega (confiança 95,45\%)