Em um laboratório, o pesquisador obteve 15 indicações referentes a medição da massa de uma pepita de ouro. Para expressar de forma adequada o resultado da medição, o pesquisador buscou as informações da balança de precisão, onde localizou: na curva de erros o erro máximo de \pm 2,0 \mathrm{~g}; e para valores na ordem de 33 g a balança apresenta correção de +0,50 \mathrm{~g}. Sabendo que a média calculada das indicações foi de 32,665 \mathrm{~g} e que a precisão para a média foi de 0,21450 \mathrm{~g}, qual o resultado da medição? Explique o resultado. ( 1,0 \mathrm{pt} )

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado deu e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Número de indicações: 15 (só informação do tamanho da amostra).
  • Média das indicações: \bar{x}=32,665\\ \mathrm{g}.
  • Precisão (incerteza) para a média: u_{\text{rand}}=0,21450\\ \mathrm{g}.
  • Na curva de erros da balança: erro máximo \pm 2,0\\ \mathrm{g}.
  • Correção indicada pela balança, para valores na ordem de 33\\ \mathrm{g}: +0,50\\ \mathrm{g}.
O que o enunciado pede: qual é o resultado da medição, explicando o raciocínio. Em resumo: aplicar a correção sistemática e combinar as incertezas (a aleatória dada pela precisão da média e a sistemática/erro máximo da balança) para apresentar o valor final com sua incerteza adequada.

Passo 2

Entendendo e aplicando a correção: a balança diz que, para massas da ordem de 33\\ \mathrm{g}, há uma correção de +0,50\\ \mathrm{g}. Isso significa que devemos somar essa correção à média obtida para ter o valor corrigido da pepita.
Cálculo:
\text{valor corrigido}=\bar{x}+(\text{correção})=32,665\\ \mathrm{g}+0,50\\ \mathrm{g}=33,165\\ \mathrm{g}.çã
Interpretação rápida: sem a correção a balança estava subestimando em 0,50\\ \mathrm{g}; portanto o melhor valor central é 33,165\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Tipos de incerteza e o que cada número representa:
  • u_{\text{rand}}=0,21450\\ \mathrm{g} é a incerteza tipo A (aleatória) associada à média das medições — dá a precisão da média.
  • O erro máximo \pm 2,0\\ \mathrm{g} fornecido pela curva de erros da balança é uma incerteza tipo B (sistemática/instrumental) que representa a faixa máxima de desvio possível da balança naquele intervalo.
    Para obter a incerteza total de uma medição quando há contribuições independentes (uma aleatória e outra sistemática), combinamos as incertezas assumindo que são independentes.

Passo 4

Regra de combinação (explicação da fórmula): quando duas incertezas u_1 e u_2 são independentes, a incerteza combinada u_{\text{tot}} é dada pela soma quadrática (root-sum-square):
u_{\text{tot}}=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}.
Aqui u_{1} será u_{\text{rand}} e u_{2} será a incerteza associada ao erro máximo da balança u_{\text{sist}}. Essa fórmula vem da propagação de variâncias (variância total = soma das variâncias se as contribuições são independentes).

Passo 5

Aplicando a fórmula com os números dados. Tomamos u_{\text{rand}}=0,21450\\ \mathrm{g} e u_{\text{sist}}=2,0\\ \mathrm{g}. Calculemos passo a passo:
u_{\text{rand}}^{2}=(0,21450)^{2}=0,04601025\\ \mathrm{g}^{2},
u_{\text{sist}}^{2}=(2,0)^{2}=4,0000\\ \mathrm{g}^{2},
u_{\text{tot}}=\sqrt{0,04601025+4,0000}=\sqrt{4,04601025}=2,011487\ldots\\ \mathrm{g}.
Portanto a incerteza combinada (não arredondada) é aproximadamente 2,0115\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Regras práticas de apresentação (arredondamento) e aplicação:
  • Normalmente arredondamos a incerteza para uma ou duas cifras significativas. Se o primeiro dígito é 1 ou 2, costuma-se manter duas cifras significativas; aqui o primeiro dígito é 2, então é aceitável apresentar a incerteza com duas cifras significativas: 2,0\\ \mathrm{g}.
  • Depois, o valor medido deve ser arredondado para a mesma ordem decimal da incerteza (a casa decimal correspondente). Como escolhemos a incerteza 2,0\\ \mathrm{g} (com precisão na casa dos 0,1\\ \mathrm{g}), arredondamos o valor corrigido 33,165\\ \mathrm{g} para a casa dos 0,1\\ \mathrm{g}: 33,2\\ \mathrm{g}.
Explicando a lógica: a incerteza de 2,0\\ \mathrm{g} indica que só faz sentido conhecer o valor até a casa dos décimos de grama; casas menores seriam ilusórias.

Passo 7

Apresentação final e interpretação curta:
  • Valor corrigido (antes do arredondamento): 33,165\\ \mathrm{g}.
  • Incerteza combinada (antes do arredondamento): 2,0115\\ \mathrm{g}.
  • Após regras de arredondamento usadas em metrologia, o resultado final deve ser apresentado como
33,2\pm2,0\\ \mathrm{g}.
Interpretação: isso quer dizer que, contando as incertezas consideradas (aleatória da média e o erro máximo da balança), o valor verdadeiro da massa está plausivelmente dentro do intervalo aproximado 33,2-2,0=31,2\\ \mathrm{g} até 33,2+2,0=35,2\\ \mathrm{g}, com a confiança associada às incertezas combinadas.

Resposta

33,2\pm2,0\\ \mathrm{g}

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