No laboratório, misturaram-se os componentes de um detergente líquido ( mu=100 cP e rho =2 g / cm^3 ) num tanque de 20 gal , com chicanas de 0,72 in de largura, fundo plano e 18 in de diâmetro interno. Usa-se um agitador de turbina dupla, com lâminas de 6 in de diâmetro. Um motor aciona o agitador a 500 rpm , durante 30 min , até conseguir-se a dispersão completa. Pergunta-se qual é a potência gasta por esse motor?

Passo 1

Beleza, a questão é sobre mistura mecânica num tanque – ou seja, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos e mistura industrial para descobrir a potência que o motor gasta.
O que temos
• Viscosidade do detergente: mu=100 cP (que é 0,1;Pa·s)
• Densidade: rho=2 g/cm^3 (isto é 2000;kg/m³)
• Volume no tanque: 20;gal (cerca de 0,0757;m³)
• Diâmetro interno do tanque: 18;in (ou 0,4572;m)
• Lâminas da turbina dupla: 6;in de diâmetro (ou 0,1524;m)
• Velocidade de rotação: 500;rpm
O que vamos usar
  1. Cálculo do número de Reynolds ( Re) para ver se o escoamento é laminar ou turbulento.
  2. Número de potência da turbina ( Po), que depende do regime.
  3. Fórmula da potência de mistura:
P = Po,rho,N^3,D^5
A partir do passo 2 a gente começa o cálculo “de verdade”.

Passo 2

Converter tudo para unidades do SI e calcular o número de Reynolds
  1. Velocidade de rotação em rps:
N = 500 rpm60 = 8,333 rev/s
  1. Diâmetro do agitador:
D = 6 in = 6 times 0,0254 = 0,1524 m
  1. Viscosidade dinâmica em Pa·s e densidade em kg/m³ já temos:
mu = 0,1;Pacdot s, rho=2000;kg/m^3
  1. Número de Reynolds para agitador:
Re = rho,N,D^2mu = 2000 times 8,333 times (0,1524)^20,1 approx 3,900
Como Reapprox 4times10^3, estamos no limite entre laminar e turbulento – mas já dentro da faixa em que costuma-se assumir Po praticamente constante (regime turbulento moderado).

Passo 3

Escolher o número de potência Po e calcular a potência
Para turbina de pás (tipo Rushton ou similar) em escoamento turbulento moderado, normalmente usa-se
Po approx 5
Então aplicamos
P = Po,rho,N^3,D^5
Substituindo:
P = 5 times 2000;kgm^3 times (8,333;s^-1)^3 times (0,1524;m)^5
Calculemos passo a passo:
  1. N^3 = 8,333^3 approx 578,7;s^-3
  2. D^5 = (0,1524)^5 approx 8,2times10^-5;m^5
  3. Então
P approx 5 times 2000 times 578,7 times 8.2times10^-5 approx 476;W

Resposta

A potência gasta pelo motor é de aproximadamente 476 W.

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