Um engenheiro está monitorando o número de falhas em um sistema de resfriamento de reatores que ocorrem, em média, 2 vezes por semana.
Qual a probabilidade de que ocorram exatamente 2 falhas em uma semana?

Passo 1

O problema diz que, em média, ocorrem \,2\, falhas por semana e pergunta qual a probabilidade de ocorrerem exatamente \,2\, falhas em uma semana.
Informações fornecidas:
  • Taxa média de ocorrências por semana: \lambda=2.
  • Queremos a probabilidade de exatamente k=2 ocorrências na semana.

Passo 2

Qual modelo usar? Para contar o número de eventos que ocorrem em intervalos de tempo quando:
  • os eventos são raros e independentes,
  • conhecemos a taxa média \lambda por intervalo,
    usa-se a distribuição de Poisson.
    Definições importantes:
  • X é a variável aleatória “número de falhas em uma semana”.
  • \lambda é a média (esperança) de X no intervalo considerado (aqui \lambda=2).
  • Queremos P(X=k) com k=2.

Passo 3

Fórmula da distribuição de Poisson (a parte que cai bem em prova):
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}.
Explicando cada símbolo:
  • \lambda é a média de eventos no intervalo (aqui \lambda=2).
  • k é o número exato de eventos que queremos (aqui k=2).
  • e é a base dos logaritmos naturais ( e\approx2,71828).
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 2! = 2\cdot1=2).

Passo 4

Aplicando a fórmula com \lambda=2 e k=2:
P(X=2)=\frac{2^{2} e^{-2}}{2!}=\frac{4 e^{-2}}{2}=2 e^{-2}.
Aqui usei que 2!=2.

Passo 5

Aproximação numérica (para interpretar na prova):
e^{-2}\approx0,135335\quad\Rightarrow\quad 2e^{-2}\approx0,270671.
Arredondando para quatro casas decimais: \approx0,2707.
Interpretação: há cerca de 27{,}07\% de chance de ocorrer exatamente duas falhas na semana — um valor razoável dada a média de duas falhas por semana. Força aí, você já entendeu a técnica que geralmente cai na prova!

Resposta

P(X=2)=2e^{-2}\approx0,2707

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