No laboratório vocês trabalharam com capacitores eletrolíticos de capacitância da ordem de
. Ligando-o por um fio (resistência
) a uma bateria qualquer, qual é o tempo necessário para carregar esse capacitor até 99% de sua carga máxima possível? Uma vez carregado, qual é o tempo para descarregá-lo quase totalmente o curtocircuitando com o mesmo fio, ou seja, transferindo
de sua carga para o fio?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado: \n
- Queremos o tempo necessário para carregar um capacitor até
de sua carga máxima quando ligado a uma bateria por um fio com resistência aproximada de . \n - Em seguida, queremos o tempo necessário para descarregar quase totalmente (transferir
da carga para o fio) ao curto-circuitar o capacitor com o mesmo fio. \n - Dados fornecidos:
e . \n - Metas numéricas: atingir fração
da carga máxima no carregamento; reduzir a carga remanescente a (ou transferir ) no descarregamento.
Passo 2
Modelo físico e por que usar um circuito RC simples: \n
Quando ligamos um capacitor a uma bateria através de um fio que tem resistência, o circuito essencial é uma resistência em série com um capacitor
. Essa resistência efetiva inclui a resistência do fio e outras resistências internas (por exemplo resistência interna da bateria e ESR do capacitor). Para tempos de carga/descarga usamos o modelo RC com essa
. Não precisamos do valor da tensão da bateria para achar o tempo relativo (fração da carga), porque a dinâmica temporal depende só de
e
.
Quando ligamos um capacitor a uma bateria através de um fio que tem resistência, o circuito essencial é uma resistência
Passo 3
Definição do tempo característico (
) e significado físico: \n
- Definimos a constante de tempo
por . \n - Interpretação:
é o tempo em que, durante uma carga, o capacitor atinge (63,2%) da carga máxima; em descarga é o tempo em que a carga decai para . \n
Vamos primeiro calcularcom os valores dados.
Passo 4
Cálculo numérico da constante de tempo
: \n
Passo 5
Equação temporal da carga durante a carga do capacitor (resumo e derivação rápida): \n
- Se a bateria tem tensão
, a equação diferencial obtida por Kirchhoff e pela relação é
- Solução (condição inicial
) é
- Como a carga no capacitor é
e a carga máxima é , temos
Essa fórmula dá a fração da carga máxima em qualquer instante.
Passo 6
Tempo para atingir
na carga: \n
Queremos . Então
Queremos
Tomando logaritmo:
Substituindo
:
Como
, segue
Passo 7
Equação temporal da descarga e tempo para transferir
da carga ao curto-circuitar: \n
- Para descarga através da mesma resistência
(curto), a equação é
- Para que reste apenas
da carga (isto é, transferidos ), queremos . Então
- Portanto o tempo numérico é o mesmo do caso de carga:
Física: a simetria aparece porque a dinâmica é exponencial com mesma constante de tempo nos dois processos (carga via resistor em série e descarga pelo mesmo resistor).
Passo 8
Observações, limitações e segurança (curtas e úteis): \n
- Assumimos
efetivo igual a conforme enunciado; se a resistência real for maior (por ESR, conexões, resistência interna da bateria), aumenta proporcionalmente. \n - Em prática, como
é muito pequeno aqui, efeitos indutivos e correntes de pico podem aparecer; curto com pequeno gera correntes grandes por um curto tempo (corrente inicial aproximada ). Tenha cuidado no laboratório — evitar curto direto sem proteção. \n - Matemática: tanto para carga quanto para descarga atingir exatamente
ou transferir exatamente é assintótico; usamos a definição prática para fixar um tempo.
Resposta
Tempo de carga até
:
. \n
Tempo de descarga transferindo da carga para o fio:
.
Tempo de descarga transferindo