No laboratório vocês trabalharam com capacitores eletrolíticos de capacitância da ordem de C=50 \mu \mathrm{~F}. Ligando-o por um fio (resistência \sim 0,1 \Omega ) a uma bateria qualquer, qual é o tempo necessário para carregar esse capacitor até 99% de sua carga máxima possível? Uma vez carregado, qual é o tempo para descarregá-lo quase totalmente o curtocircuitando com o mesmo fio, ou seja, transferindo 99 \% de sua carga para o fio?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado: \n
  • Queremos o tempo necessário para carregar um capacitor até 99\% de sua carga máxima quando ligado a uma bateria por um fio com resistência aproximada de 0,1\\ \Omega. \n
  • Em seguida, queremos o tempo necessário para descarregar quase totalmente (transferir 99\% da carga para o fio) ao curto-circuitar o capacitor com o mesmo fio. \n
  • Dados fornecidos: \displaystyle C = 50\\ \mu\mathrm{F} e \displaystyle R \approx 0,1\\ \Omega. \n
  • Metas numéricas: atingir fração 0{,}99 da carga máxima no carregamento; reduzir a carga remanescente a 0{,}01 (ou transferir 99\%) no descarregamento.

Passo 2

Modelo físico e por que usar um circuito RC simples: \n
Quando ligamos um capacitor a uma bateria através de um fio que tem resistência, o circuito essencial é uma resistência R em série com um capacitor C. Essa resistência efetiva inclui a resistência do fio e outras resistências internas (por exemplo resistência interna da bateria e ESR do capacitor). Para tempos de carga/descarga usamos o modelo RC com essa R. Não precisamos do valor da tensão da bateria para achar o tempo relativo (fração da carga), porque a dinâmica temporal depende só de R e C.

Passo 3

Definição do tempo característico ( \tau) e significado físico: \n
  • Definimos a constante de tempo \tau por \displaystyle \tau = R\,C. \n
  • Interpretação: \tau é o tempo em que, durante uma carga, o capacitor atinge \displaystyle 1 - e^{-1}\approx 0{,}632 (63,2%) da carga máxima; em descarga é o tempo em que a carga decai para e^{-1}\approx 36{,}8\%. \n
    Vamos primeiro calcular \tau com os valores dados.

Passo 4

Cálculo numérico da constante de tempo \tau: \n
\tau = R\,C = 0{,}1\\ \Omega \times 50\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}
\tau = 5{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{s} = 5\\ \mu\mathrm{s}.

Passo 5

Equação temporal da carga durante a carga do capacitor (resumo e derivação rápida): \n
  • Se a bateria tem tensão V, a equação diferencial obtida por Kirchhoff e pela relação i=C\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}t é
\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{V - v(t)}{RC}.
  • Solução (condição inicial v(0)=0) é
v(t) = V\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr).
  • Como a carga no capacitor é q(t)=C\,v(t) e a carga máxima é Q=C\,V, temos
\frac{q(t)}{Q} = 1 - e^{-t/\tau}.
Essa fórmula dá a fração da carga máxima em qualquer instante.

Passo 6

Tempo para atingir 99\% na carga: \n
Queremos q(t)/Q = 0{,}99. Então
0{,}99 = 1 - e^{-t/\tau}\quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau} = 0{,}01.
Tomando logaritmo:
-t/\tau = \ln(0{,}01) \quad\Rightarrow\quad t = -\tau\ln(0{,}01) = \tau\ln(100).
Substituindo \tau = 5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}:
t = 5{,}0\times10^{-6}\times \ln(100).
Como \ln(100)\approx 4{,}605170, segue
t \approx 5{,}0\times10^{-6}\times 4{,}605170 \approx 23{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s} = 23\\ \mu\mathrm{s}.

Passo 7

Equação temporal da descarga e tempo para transferir 99\% da carga ao curto-circuitar: \n
  • Para descarga através da mesma resistência R (curto), a equação é
q(t) = Q\,e^{-t/\tau}.
  • Para que reste apenas 1\% da carga (isto é, transferidos 99\%), queremos q(t)/Q = 0{,}01. Então
e^{-t/\tau} = 0{,}01 \quad\Rightarrow\quad t = \tau\ln(100).
  • Portanto o tempo numérico é o mesmo do caso de carga:
t \approx 23\\ \mu\mathrm{s}.
Física: a simetria aparece porque a dinâmica é exponencial com mesma constante de tempo nos dois processos (carga via resistor em série e descarga pelo mesmo resistor).

Passo 8

Observações, limitações e segurança (curtas e úteis): \n
  • Assumimos R efetivo igual a 0{,}1\\ \Omega conforme enunciado; se a resistência real for maior (por ESR, conexões, resistência interna da bateria), \tau aumenta proporcionalmente. \n
  • Em prática, como \tau é muito pequeno aqui, efeitos indutivos e correntes de pico podem aparecer; curto com R pequeno gera correntes grandes por um curto tempo (corrente inicial aproximada I(0)=V/R). Tenha cuidado no laboratório — evitar curto direto sem proteção. \n
  • Matemática: tanto para carga quanto para descarga atingir exatamente 99\% ou transferir exatamente 99\% é assintótico; usamos a definição prática e^{-t/\tau}=0{,}01 para fixar um tempo.

Resposta

Tempo de carga até 99\%: t \approx 23\\ \mu\mathrm{s}. \n
Tempo de descarga transferindo 99\% da carga para o fio: t \approx 23\\ \mu\mathrm{s}.

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