Uma partícula move-se no plano
de modo que
e
. Se a posição da partícula for
quando
, determine a equação cartesiana da trajetória a as componentes da aceleração.
Passo 1
O enunciado dá as componentes da velocidade da partícula em função do tempo e uma posição inicial, e pede a equação cartesiana da trajetória e as componentes da aceleração. Informações fornecidas:
e a posição inicial é
quando
.
Perguntas a responder:
Perguntas a responder:
- Encontrar a equação cartesiana da trajetória (ou seja, eliminar
e obter uma relação entre e ). - Determinar as componentes da aceleração
.
Passo 2
Entendimento e método: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Assim, para obter as coordenadas
integra-se cada componente da velocidade:
Para integrar usamos a regra de potência:
(para
). Vou integrar termo a termo e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
Passo 3
Integrando
para obter
:
Integro cada termo usando a regra de potência:
Somando e incluindo a constante de integração
:
Usando a condição inicial
obtemos
. Portanto
Passo 4
Integrando
para obter
:
Usando
obtemos
. Assim
Passo 5
Agora temos as equações paramétricas da trajetória:
Para eliminar
observe que
expressa
de forma simples. Resolvo para
:
Passo 6
Substituo
em
. Primeiro note que
. Então
Coloco
para visualizar:
. Reescrevendo com
:
Agora substituo
:
Portanto
Esta é a equação cartesiana da curva. Podemos também isolar
como
, lembrando das restrições de domínio impostas pelo parâmetro: como
, temos
e
. Logo a partícula percorre a parte da parábola
com
(equivalente a
com
).
Passo 7
Agora a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo componente a componente:
Uso a regra de derivação da potência:
.
Calculo
:
Calculo
:
Assim a aceleração vetorial é