Uma partícula move-se no plano x y de modo que v_{x}= \left(4 t^{3}+4 t\right) \mathrm{m} / \mathrm{s} e v_{y}=4 t \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se a posição da partícula for (1,2) quando t=0, determine a equação cartesiana da trajetória a as componentes da aceleração.

Passo 1

O enunciado dá as componentes da velocidade da partícula em função do tempo e uma posição inicial, e pede a equação cartesiana da trajetória e as componentes da aceleração. Informações fornecidas:
v_x(t)=4t^{3}+4t\\ \text{m/s},\qquad v_y(t)=4t\\ \text{m/s},
e a posição inicial é (x,y)=(1,2) quando t=0.
Perguntas a responder:
  1. Encontrar a equação cartesiana da trajetória (ou seja, eliminar t e obter uma relação entre x e y).
  2. Determinar as componentes da aceleração (a_x(t),a_y(t)).

Passo 2

Entendimento e método: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Assim, para obter as coordenadas (x(t),y(t)) integra-se cada componente da velocidade:
v_x=\frac{dx}{dt},\qquad v_y=\frac{dy}{dt}.
Para integrar usamos a regra de potência: \int t^n\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq-1). Vou integrar termo a termo e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 3

Integrando v_x(t)=4t^{3}+4t para obter x(t):
x(t)=\int v_x(t)\,dt=\int (4t^{3}+4t)\,dt.
Integro cada termo usando a regra de potência:
\int 4t^{3}\,dt=4\cdot\frac{t^{4}}{4}=t^{4},\qquad \int 4t\,dt=4\cdot\frac{t^{2}}{2}=2t^{2}.
Somando e incluindo a constante de integração C_x:
x(t)=t^{4}+2t^{2}+C_x.
Usando a condição inicial x(0)=1 obtemos C_x=1. Portanto
x(t)=t^{4}+2t^{2}+1.

Passo 4

Integrando v_y(t)=4t para obter y(t):
y(t)=\int 4t\,dt=4\cdot\frac{t^{2}}{2}=2t^{2}+C_y.
Usando y(0)=2 obtemos C_y=2. Assim
y(t)=2t^{2}+2.

Passo 5

Agora temos as equações paramétricas da trajetória:
x(t)=t^{4}+2t^{2}+1,\qquad y(t)=2t^{2}+2.
Para eliminar t observe que y(t) expressa t^{2} de forma simples. Resolvo para t^{2}:
y=2t^{2}+2 \quad\Longrightarrow\quad 2t^{2}=y-2 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=\frac{y-2}{2}.

Passo 6

Substituo t^{2} em x(t). Primeiro note que t^{4}=(t^{2})^{2}. Então
x=t^{4}+2t^{2}+1=(t^{2})^{2}+2t^{2}+1.
Coloco u=t^{2} para visualizar: x=u^{2}+2u+1=(u+1)^{2}. Reescrevendo com t^{2}:
x=(t^{2}+1)^{2}.
Agora substituo t^{2}=\dfrac{y-2}{2}:
t^{2}+1=\frac{y-2}{2}+1=\frac{y}{2}.
Portanto
x=\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{4}.
Esta é a equação cartesiana da curva. Podemos também isolar y como y=2\sqrt{x}, lembrando das restrições de domínio impostas pelo parâmetro: como t^{2}\ge0, temos y=2t^{2}+2\ge2 e x=(t^{2}+1)^{2}\ge1. Logo a partícula percorre a parte da parábola y^{2}=4x com y\ge2 (equivalente a y=2\sqrt{x} com x\ge1).

Passo 7

Agora a aceleração \vec a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo componente a componente:
a_x(t)=\frac{dv_x}{dt},\qquad a_y(t)=\frac{dv_y}{dt}.
Uso a regra de derivação da potência: \dfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1}.
Calculo a_x(t):
v_x(t)=4t^{3}+4t \quad\Longrightarrow\quad a_x(t)=\frac{d}{dt}(4t^{3}+4t)=4\cdot 3t^{2}+4\cdot 1=12t^{2}+4.
Calculo a_y(t):
v_y(t)=4t \quad\Longrightarrow\quad a_y(t)=\frac{d}{dt}(4t)=4.
Assim a aceleração vetorial é
\vec a(t)=\bigl(12t^{2}+4\bigr)\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}.

Resposta

\text{Equação cartesiana: }\;x=\frac{y^{2}}{4}\quad(\text{trajetória; a partícula percorre a porção com }y\ge2,\\ x\ge1)çãóíçã
\text{Aceleração: }\;a_x(t)=12t^{2}+4,\qquad a_y(t)=4\quad\text{(ou }\vec a(t)=(12t^{2}+4)\mathbf{i}+4\mathbf{j}\text{)}çã

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