QUESTÃO 1: Um projectí é arremessado verticalmente para cima da superfície de um planeta esférico de massa
e raio
, atingindo uma altura
com relação à superficie.j Desprezando a resistência do ar e com a constante de gravitação universal dada por
, responda aos itens abaixo:
(a)
Calcule a velocidade inicial
do projétil, expréssando seu resultado em termos de
.)
(b)
A partir da resposta obtida no item (a), obtenha a velocidade de escape
do projétil.
(c)
Calcule a altura
qué o projétil atinge (medida a partir da superfície do planeta), se sua velocidade inicial é 4 vezes menor que a velocidade de eseape obtida no item (b). Expresse sua resposta em função de
.
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá um projétil arremessado verticalmente para cima a partir da superfície de um planeta esférico de massa
e raio
. O projétil atinge uma altura
medida a partir da superfície. A resistência do ar é desprezível e a constante de gravitação é
. Perguntas:
(a) Calcular a velocidade inicial
necessária para que o projétil atinja a altura
, expressa em termos de
,
,
e
.
(b) A partir do item (a), obter a velocidade de escape
do projétil.
(c) Determinar a altura
(medida a partir da superfície) que o projétil atinge se sua velocidade inicial é 4 vezes menor que a velocidade de escape (ou seja,
). Expressar
em função de
.
Informações relevantes dadas:
; despreza-se resistência do ar; energia mecânica total é conservada.
Passo 2
Conservação de energia e formas de energia usadas — explicação didática.
- A energia cinética de uma partícula de massa
e velocidade é
onde
é a massa do projétil e
sua velocidade.
- A energia potencial gravitacional para um corpo de massa
a uma distância do centro de um planeta de massa (no campo gravitacional geral, não apenas aproximação constante ) é
onde
é a constante de gravitação universal. Observe que
é negativa e tende a
quando
.
- Como não há forças dissipativas, a energia mecânica total
se conserva entre dois pontos da trajetória. Isso significa que podemos igualar a soma na superfície ( ) e no ponto mais alto ( ), onde a velocidade final é zero.
Passo 3
Aplicando conservação de energia entre a superfície (
) e o ponto mais alto (
):
- No início (superfície): energia total
- No ponto mais alto (
), a velocidade é zero, então
Conservação de energia:
Passo 4
Simplificar a equação de conservação de energia e resolver para
.
Começamos cancelando o fator
(a massa do projétil aparece em todos os termos, então não afeta a velocidade requerida):
Isolando
:
Fatorando
:
Calcular o parêntese por frações:
Logo
Multiplicando por
e extraindo raiz quadrada:
Aqui expliquei cada passo algébrico para que você consiga reproduzir na prova: cancelar
, passar termos, reduzir frações e tirar raiz.
Passo 5
Obtendo a velocidade de escape
a partir do item (a).
A velocidade de escape é a velocidade inicial mínima na superfície (
) que faz o projétil “ir ao infinito” com velocidade final nula. Em termos de energia, isso corresponde a tomar
na expressão do item (a) (ou diretamente impor energia total zero em
).
A partir de
fazendo
temos
, então
portanto
Passo 6
Cálculo da altura
quando
.
Primeiro escrevemos
em termos de
:
Como
, obtemos
Agora aplicamos conservação de energia entre
(início) e
(máxima altura atingida), repetindo o processo do Passo 3:
Substituímos
:
Calcule o lado esquerdo passo a passo:
então
Portanto
Cancelando
(não nulo):
Invertendo:
Isolando
:
Passo 7
Resumo e interpretação rápida (uma palavra de ânimo): conseguimos expressar
em função de
, recuperar a fórmula clássica da velocidade de escape e achar que, se você lança com
, o projétil sobe até uma altura pequena comparada a
:
. Vai bem — os passos são sempre os mesmos na prova: escrever energias, cancelar
, e resolver a equação.
Resposta
(a)
(b)
(c)