QUESTÃO 1: Um projectí é arremessado verticalmente para cima da superfície de um planeta esférico de massa M e raio R, atingindo uma altura h com relação à superficie.j Desprezando a resistência do ar e com a constante de gravitação universal dada por G, responda aos itens abaixo:
E_{m,} E_{m+} \rightarrow k_{1}+u_{1}=k_{1}+u_{2}
(a) (1,5) Calcule a velocidade inicial v_{0} do projétil, expréssando seu resultado em termos de G, M, h \in R.)
(b) (1,0) A partir da resposta obtida no item (a), obtenha a velocidade de escape v_{e} do projétil.
(c) (1,0) Calcule a altura H qué o projétil atinge (medida a partir da superfície do planeta), se sua velocidade inicial é 4 vezes menor que a velocidade de eseape obtida no item (b). Expresse sua resposta em função de R.

Passo 1

O enunciado dá um projétil arremessado verticalmente para cima a partir da superfície de um planeta esférico de massa M e raio R. O projétil atinge uma altura h medida a partir da superfície. A resistência do ar é desprezível e a constante de gravitação é G. Perguntas:
(a) Calcular a velocidade inicial v_0 necessária para que o projétil atinja a altura h, expressa em termos de G, M, R e h.
(b) A partir do item (a), obter a velocidade de escape v_e do projétil.
(c) Determinar a altura H (medida a partir da superfície) que o projétil atinge se sua velocidade inicial é 4 vezes menor que a velocidade de escape (ou seja, v_0 = v_e/4). Expressar H em função de R.
Informações relevantes dadas: M, R, h, G; despreza-se resistência do ar; energia mecânica total é conservada.

Passo 2

Conservação de energia e formas de energia usadas — explicação didática.
  • A energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade v é
K=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa do projétil e v sua velocidade.
  • A energia potencial gravitacional para um corpo de massa m a uma distância r do centro de um planeta de massa M (no campo gravitacional geral, não apenas aproximação constante mg) é
U(r)=-\frac{G M m}{r},
onde G é a constante de gravitação universal. Observe que U(r) é negativa e tende a 0 quando r\to\infty.
  • Como não há forças dissipativas, a energia mecânica total E=K+U se conserva entre dois pontos da trajetória. Isso significa que podemos igualar a soma K+U na superfície ( r=R) e no ponto mais alto ( r=R+h), onde a velocidade final é zero.

Passo 3

Aplicando conservação de energia entre a superfície ( r=R) e o ponto mais alto ( r=R+h):
  • No início (superfície): energia total
E_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{G M m}{R}.
  • No ponto mais alto ( r=R+h), a velocidade é zero, então
E_{\text{final}}=0 - \frac{G M m}{R+h} = -\frac{G M m}{R+h}.
Conservação de energia:
\tfrac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{G M m}{R} = -\frac{G M m}{R+h}.

Passo 4

Simplificar a equação de conservação de energia e resolver para v_{0}.
Começamos cancelando o fator m (a massa do projétil aparece em todos os termos, então não afeta a velocidade requerida):
\tfrac{1}{2} v_{0}^{2} - \frac{G M}{R} = -\frac{G M}{R+h}.
Isolando \tfrac{1}{2} v_{0}^{2}:
\tfrac{1}{2} v_{0}^{2} = \frac{G M}{R} - \frac{G M}{R+h}.
Fatorando G M:
\tfrac{1}{2} v_{0}^{2} = G M\!\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}\right).
Calcular o parêntese por frações:
\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} = \frac{R+h - R}{R(R+h)} = \frac{h}{R(R+h)}.
Logo
\tfrac{1}{2} v_{0}^{2} = G M \cdot \frac{h}{R(R+h)}.
Multiplicando por 2 e extraindo raiz quadrada:
v_{0}^{2} = \frac{2 G M h}{R(R+h)},
v_{0} = \sqrt{\frac{2 G M h}{R(R+h)}}.
Aqui expliquei cada passo algébrico para que você consiga reproduzir na prova: cancelar m, passar termos, reduzir frações e tirar raiz.

Passo 5

Obtendo a velocidade de escape v_{e} a partir do item (a).
A velocidade de escape é a velocidade inicial mínima na superfície ( r=R) que faz o projétil “ir ao infinito” com velocidade final nula. Em termos de energia, isso corresponde a tomar h\to\infty na expressão do item (a) (ou diretamente impor energia total zero em r\to\infty).
A partir de
v_{0}^{2} = 2 G M\!\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}\right),
fazendo h\to\infty temos \frac{1}{R+h}\to 0, então
v_{e}^{2} = 2 G M \cdot \frac{1}{R} = \frac{2 G M}{R},
portanto
v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}.

Passo 6

Cálculo da altura H quando v_{0} = v_{e}/4.
Primeiro escrevemos v_{0} em termos de v_{e}:
v_{0} = \frac{v_{e}}{4}.
Como v_{e}^{2}=\dfrac{2GM}{R}, obtemos
v_{0}^{2} = \frac{v_{e}^{2}}{16} = \frac{1}{16}\cdot\frac{2 G M}{R} = \frac{G M}{8 R}.
Agora aplicamos conservação de energia entre r=R (início) e r=R+H (máxima altura atingida), repetindo o processo do Passo 3:
\tfrac{1}{2} v_{0}^{2} - \frac{G M}{R} = -\frac{G M}{R+H}.
Substituímos v_{0}^{2}=\dfrac{G M}{8 R}:
\tfrac{1}{2}\cdot\frac{G M}{8 R} - \frac{G M}{R} = -\frac{G M}{R+H}.
Calcule o lado esquerdo passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot\frac{G M}{8 R} = \frac{G M}{16 R},
então
\frac{G M}{16 R} - \frac{G M}{R} = G M\!\left(\frac{1}{16 R} - \frac{1}{R}\right) = G M\!\left(\frac{1-16}{16 R}\right) = -\frac{15\,G M}{16 R}.
Portanto
-\frac{15\,G M}{16 R} = -\frac{G M}{R+H}.
Cancelando -G M (não nulo):
\frac{15}{16 R} = \frac{1}{R+H}.
Invertendo:
R+H = \frac{16 R}{15}.
Isolando H:
H = \frac{16 R}{15} - R = R\!\left(\frac{16}{15}-1\right) = \frac{R}{15}.

Passo 7

Resumo e interpretação rápida (uma palavra de ânimo): conseguimos expressar v_0 em função de G,M,R,h, recuperar a fórmula clássica da velocidade de escape e achar que, se você lança com v_e/4, o projétil sobe até uma altura pequena comparada a R: H=R/15. Vai bem — os passos são sempre os mesmos na prova: escrever energias, cancelar m, e resolver a equação.

Resposta

(a) v_{0}=\sqrt{\dfrac{2 G M h}{R(R+h)}}
(b) v_{e}=\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}
(c) H=\dfrac{R}{15}

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