1. Dois eventos A e B são tais que P(A \cap B)=p, P\left(A \cap B^{c}\right)=q, P\left(A^{c} \cap B\right)=r e finalmente P\left(A^{c} \cap B^{c}\right)=s. (a) Dar a expressão, em função de \mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r}, \mathrm{s}, da probabilidade condicional de A dado B . (b) Mostrar que A e B são independente se e somente se ps=qr.

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades de todas as quatro interseções possíveis entre os eventos A e B:
P(A\cap B)=p,\quad P\big(A\cap B^{c}\big)=q,\quad P\big(A^{c}\cap B\big)=r,\quad P\big(A^{c}\cap B^{c}\big)=s.
Liste do que nos pedem:
(a) Expressar a probabilidade condicional de A dado B em função de p,q,r,s.
(b) Mostrar que A e B são independentes se e somente se ps=qr.
Observação útil que vem dos dados: as quatro probabilidades cobrem todo o espaço amostral, portanto
p+q+r+s=1.

Passo 2

Definição e ideia para (a): a probabilidade condicional de A dado B é a probabilidade de ocorrer A quando já sabemos que B ocorreu. A fórmula clássica é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
desde que P(B)>0. Aqui o numerador é a probabilidade conjunta P(A\cap B) e o denominador é a probabilidade do condicionante B.

Passo 3

Calcular P(B) usando as interseções dadas: o evento B pode ocorrer de duas maneiras — com A (que tem probabilidade p) ou com A^{c} (que tem probabilidade r). Logo
P(B)=P(A\cap B)+P(A^{c}\cap B)=p+r.
Substituindo na definição de probabilidade condicional obtemos
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{p}{p+r},
válido quando p+r>0 (isto é, quando P(B)>0).

Passo 4

Definição e ideia para (b): dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não muda a probabilidade do outro, formalmente
A\\ \text{e}\\ B\\ \text{são independentes} \quad\Longleftrightarrow\quad P(A\cap B)=P(A)\,P(B).ã
Vamos escrever P(A) e P(B) em termos de p,q,r,s:
P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c})=p+q,
P(B)=p+r.
A condição de independência fica então
p = (p+q)(p+r).

Passo 5

Algebra para transformar a condição em ps=qr. Desenvolvendo o produto:
(p+q)(p+r)=p^2+pr+pq+qr.
A igualdade p=(p+q)(p+r) é então
p = p^2+pr+pq+qr.
Subtraindo p de ambos os lados:
0 = p^2+pr+pq+qr - p.
Agora usamos a relação p+q+r+s=1 para simplificar pr+pq - p. Observe que
r+q = 1 - p - s,
então
pr+pq - p = p(r+q) - p = p( r+q -1) = p(-p - s) = -p^2 - ps.
Substituindo de volta na equação anterior obtemos
0 = p^2 + ( -p^2 - ps) + qr = -ps + qr.
Portanto
-ps + qr = 0 \quad\Longrightarrow\quad ps = qr.
Isso mostra que se A e B são independentes então ps=qr.

Passo 6

Mostrar a recíproca (se ps=qr então A e B são independentes): começamos de ps=qr e retomamos os passos anteriores invertendo-os. Da igualdade ps=qr segue
-ps+qr=0.
Voltando-nos à expressão obtida no Passo 5,
-ps+qr = p^2+pr+pq+qr - p,
logo a igualdade -ps+qr=0 implica
p^2+pr+pq+qr - p = 0,
ou seja
p = p^2+pr+pq+qr = (p+q)(p+r).
Isto é exatamente a condição P(A\cap B)=P(A)P(B), portanto A e B são independentes. Assim mostra-se a equivalência desejada.

Resposta

(a) P(A\mid B)=\dfrac{p}{p+r} (para p+r>0).
(b) A e B são independentes se, e somente se, ps=qr.

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