- Dois eventos A e B são tais que
,
e finalmente
. (a) Dar a expressão, em função de
, da probabilidade condicional de A dado B . (b) Mostrar que
e
são independente se e somente se ps=qr.
Passo 1
O enunciado dá as probabilidades de todas as quatro interseções possíveis entre os eventos
e
:
Liste do que nos pedem:
(a) Expressar a probabilidade condicional de dado
em função de
.
(b) Mostrar que e
são independentes se e somente se
.
Observação útil que vem dos dados: as quatro probabilidades cobrem todo o espaço amostral, portanto
(a) Expressar a probabilidade condicional de
(b) Mostrar que
Observação útil que vem dos dados: as quatro probabilidades cobrem todo o espaço amostral, portanto
Passo 2
Definição e ideia para (a): a probabilidade condicional de
dado
é a probabilidade de ocorrer
quando já sabemos que
ocorreu. A fórmula clássica é
desde que
. Aqui o numerador é a probabilidade conjunta
e o denominador é a probabilidade do condicionante
.
Passo 3
Calcular
usando as interseções dadas: o evento
pode ocorrer de duas maneiras — com
(que tem probabilidade
) ou com
(que tem probabilidade
). Logo
Substituindo na definição de probabilidade condicional obtemos
válido quando
(isto é, quando
).
Passo 4
Definição e ideia para (b): dois eventos
e
são independentes quando a ocorrência de um não muda a probabilidade do outro, formalmente
Vamos escrever
e
em termos de
:
A condição de independência fica então
Passo 5
Algebra para transformar a condição em
. Desenvolvendo o produto:
A igualdade
é então
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora usamos a relação
para simplificar
. Observe que
então
Substituindo de volta na equação anterior obtemos
Portanto
Isso mostra que se
e
são independentes então
.
Passo 6
Mostrar a recíproca (se
então
e
são independentes): começamos de
e retomamos os passos anteriores invertendo-os. Da igualdade
segue
Voltando-nos à expressão obtida no Passo 5,
logo a igualdade
implica
ou seja
Isto é exatamente a condição
, portanto
e
são independentes. Assim mostra-se a equivalência desejada.
Resposta
(a)
(para
).
(b) e
são independentes se, e somente se,
.
(b)