Há ar do lado de dentro e de fora de uma bolha de sabão. Qual é a menor espessura da parede desta bolha, cujo índice de refração é n=1,420, que aparecerá escura se for iluminada com luz de 500 nm ?

Passo 1

O enunciado descreve uma bolha de sabão com ar dentro e fora, ou seja, temos um filme fino de sabão (índice de refração \,n=1{,}420) imerso em ar ( n_0=1). Iluminamos esse filme com luz de comprimento de onda no vácuo \lambda_0=500 nm e desejamos que a reflexão seja mínima (o filme apareça escuro). Para resolver, vamos usar o conceito de interferência em filme fino, levando em conta inversões de fase nas reflexões e o caminho óptico extra dentro do filme.

Passo 2

Quando a luz incide no filme de índice maior do que o meio (ar \to sabão), a onda refletida na face frontal sofre inversão de fase de \pi. Na reflexão na face interna (sabão \to ar) não há inversão de fase. Além disso, a onda que reflete na face interna tem de percorrer duas vezes a espessura d do filme, acumulando um atraso de fase
\Delta\phi_{\text{caminho}} = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,(2n\,d).

Passo 3

O desfasamento total entre as duas ondas refletidas é
\Delta\varphi = \Delta\phi_{\text{caminho}} + \pi = \frac{4\pi n\,d}{\lambda_0} + \pi.
Para que haja mínimo de intensidade refletida (interferência destrutiva na reflexão), queremos
\Delta\varphi = 2\pi m,
com m inteiro.

Passo 4

Impondo \frac{4\pi n\,d}{\lambda_0} + \pi = 2\pi m, obtemos
4\pi n\,d = 2\pi m - \pi \quad\Longrightarrow\quad 4n\,d = (2m-1)\,\lambda_0.
A menor espessura positiva corresponde a m=1:
4n\,d = \lambda_0 \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{\lambda_0}{4\,n}.

Passo 5

Substituindo \lambda_0=500 nm e n=1{,}420:
d = \frac{500\text{ nm}}{4 \times 1{,}420} \approx \frac{500}{5{,}68}\text{ nm} \approx 88{,}0\text{ nm}.

Resposta

A menor espessura é aproximadamente 88{,}0 nm.

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