Resolva 3^{20}-2^{20} aplicando produto notável

Passo 1

O enunciado pede calcular \;3^{20}-2^{20}\; aplicando produto notável.
Informações dadas: os dois termos são as potências \;3^{20}\; e \;2^{20}\;.
Objetivo: obter o valor numérico de \;3^{20}-2^{20}\; mostrando a resolução passo a passo usando fatorações (produtos notáveis).

Passo 2

Apresento o produto notável que vamos usar e sua justificativa. Para a,b números e n inteiro positivo vale a identidade
a^n-b^n=(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr).
Explicação didática dessa fórmula: se chamarmos S=a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}, então multiplicando (a-b)S obtemos uma soma telescópica:
(a-b)S = a\cdot S - b\cdot S = \bigl(a^n+a^{n-1}b+\cdots+ab^{n-1}\bigr) - \bigl(a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots+b^n\bigr)=a^n-b^n.
Ou seja, os termos intermediários se cancelam dois a dois. Essa é a razão da fatoração. Quando n é par também é conveniente usar diferença de quadrados repetida:
a^{2k}-b^{2k}=(a^k-b^k)(a^k+b^k).
Nas nossas contas iremos aplicar essas duas ideias.

Passo 3

Como 20 é par, uso diferença de quadrados com k=10:
3^{20}-2^{20}=(3^{10}-2^{10})(3^{10}+2^{10}).
Agora vamos calcular \;3^{10}\; e \;2^{10}\; passo a passo (sem pular etapas).

Passo 4

Cálculo de \;3^{10}\; por potências progressivas:
3^1=3,\;3^2=9,\;3^3=27,\;3^4=81,\;3^5=243,
3^6=3\cdot243=729,\;3^7=3\cdot729=2187,\;3^8=3\cdot2187=6561,
3^9=3\cdot6561=19683,\;3^{10}=3\cdot19683=59049.
Cálculo de \;2^{10}\;:
2^1=2,\;2^2=4,\;2^3=8,\;2^4=16,\;2^5=32,\;2^{10}=(2^5)^2=32^2=1024.

Passo 5

Agora substituo na fatoração da Passo 3:
3^{20}-2^{20}=(59049-1024)(59049+1024).
Faço as somas e subtrações:
59049-1024=58025,
59049+1024=60073.
Logo
3^{20}-2^{20}=58025\cdot60073.

Passo 6

Podemos também mostrar como 58025 surge de outra fatoração útil: usar 10=2\cdot5 e fatorar a^{10}-b^{10}=(a^5-b^5)(a^5+b^5). Calculando
3^5=243,\;2^5=32,
3^5-2^5=243-32=211,\quad 3^5+2^5=243+32=275,
211\cdot275=200\cdot275+11\cdot275=55000+3025=58025,
confirmando o valor encontrado para 58025. Isso mostra como as fatorações reduzem o problema a multiplicações mais simples.

Passo 7

Agora calculo o produto final \;58025\cdot60073\; com decomposição conveniente:
60073=60000+73,
58025\cdot60000=58025\cdot6\cdot10000=3481500\cdot1000=3\,481\,500\,000,
(mais direto: 58025\cdot60000=58025\times6\times10^4=348150\times10^4=3\,481\,500\,000).
Em seguida
58025\cdot73=58025\cdot(70+3)=58025\cdot70+58025\cdot3.
Calculo essas parcelas:
58025\cdot70=4\,061\,750,\qquad 58025\cdot3=174\,075.
Somando:
58025\cdot73=4\,061\,750+174\,075=4\,235\,825.
Finalmente
58025\cdot60073=3\,481\,500\,000+4\,235\,825=3\,485\,735\,825.

Passo 8

Verificação alternativa (checar subtração direta): computei anteriormente 3^{20}=59049^2. Calculei
59049^2=3\,486\,784\,401,
e como 2^{20}=1\,048\,576,
3^{20}-2^{20}=3\,486\,784\,401-1\,048\,576=3\,485\,735\,825,
o mesmo resultado, confirmando a conta.

Resposta

\;3\,485\,735\,825\;

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