Os lados de um triângulo retângulo apresentam medidas em P.G. Calcule a razão da P.G.

Passo 1

O enunciado diz que os três lados de um triângulo retângulo formam uma progressão geométrica (PG). Temos de encontrar a razão dessa PG. Para isso vamos usar o conceito de progressão geométrica e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Seja a o primeiro termo da PG e r a razão. Então os lados do triângulo são
a, ar, ar^2,
sendo ar^2 a hipotenusa (é o maior comprimento) e a,;ar os catetos.

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa:
a^2 + (ar)^2 = (ar^2)^2

Passo 4

Expandindo e dividindo por a^2 (que é positivo), obtemos
1 + r^2 = r^4
que equivale à equação
r^4 - r^2 - 1 = 0
Fazendo a troca t = r^2, vem
t^2 - t - 1 = 0,
cuja solução positiva pela fórmula de Bhaskara é
t = 1 + raiz52

Passo 5

Como r>0, temos
r = raizt = raiz1 + raiz52

Resposta

r = raiz1 + raiz52

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