Se a sequência (4 x, 2 x+1, x-1, ldots) é uma P.G., então obtenha o valor de x e o seu 4^circ termo.

Passo 1

O enunciado dá a sequência (4x,,2x+1,,x-1,dots) e diz que ela é uma progressão geométrica (PG). Isso significa que existe uma razão comum r tal que
r = a2a1 = a3a2
Aqui a1=4x, a2=2x+1 e a3=x-1.

Passo 2

Impondo a igualdade das razões, escrevemos
2x+14x ;=;x-12x+1
Para resolver, cruzamos em “X”:
(2x+1)^2 = 4x,(x-1)
Expandindo:
4x^2 +4x +1 =4x^2 -4x
e, cancelando 4x^2 dos dois lados,
4x +1 = -4x ;;Longrightarrow;; 8x = -1 ;;Longrightarrow;; x = -tfrac18

Passo 3

Verificamos que xneq0 e 2x+1neq0 para não anular denominadores. Com x=-tfrac18, tudo está ok.

Passo 4

Calculamos a razão
r = 2x+14x = 2(-tfrac18)+14(-tfrac18) = -tfrac14+1- tfrac12 = tfrac34-tfrac12 = -tfrac32
O quarto termo de uma PG é a4=a1,r^3. Logo,
a4 = (4x),l(-tfrac32r)^3 = l(4cdot(-tfrac18)r),l(-tfrac278r) = l(-tfrac12r),l(-tfrac278r) = tfrac2716

Resposta

x = -tfrac18
O quarto termo é tfrac2716.

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