Uma partícula na forma de uma pequena esfera de massa
é atravessada por um arame rígido e pode se mover ao longo do arame sem atrito. O movimento da partícula é descrito em termos das coordenadas cilíndricas
e
. O arame tem a forma de uma hélice, cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada por
e
. A partícula também está sob a ação do potencial
. Aqui
e
são constantes positivas. Qual é a lagrangiana
da partícula e sua equação de movimento?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
- Informações dadas:
- Massa da partícula:
. - Arame em forma de hélice, descrita em coordenadas cilíndricas por
(constante) e , com e fixo. - Potencial externo dependente da coordenada carteseana
: com . - A partícula desliza sem atrito ao longo do arame (portanto há uma restrição que reduz os graus de liberdade).
- Massa da partícula:
- O que o enunciado pede:
- A lagrangiana
da partícula. - A equação de movimento (equação de Euler–Lagrange) associada a essa lagrangiana.
- A lagrangiana
Passo 2
Escolher uma coordenada generalizada e relacionar coordenadas.
- Como a partícula está presa à hélice
e , o único grau de liberdade é o ângulo . Então podemos usar como coordenada generalizada. - Em coordenadas cilíndricas o ponto tem componentes cartesianas
- Usando a restrição
(peguei do enunciado) e (peguei do enunciado), obtemos a dependência espacial em função de :
Passo 3
Escrever a energia cinética em coordenadas cilíndricas e aplicar as restrições.
- Fórmula padrão para energia cinética de uma partícula em coordenadas cilíndricas:
Aqui
é a velocidade radial,
é a velocidade tangencial e
é a velocidade axial.
- Na nossa situação
constante, logo . Além disso implica . Substituindo:
- Agrupando termos:
Passo 4
Escrever o potencial em função de
.
- O potencial dado é
. Usando (peguei do passo 2) temos:
Passo 5
Formar a lagrangiana
.
- Substituindo
e obtidos:
- Aqui
é a coordenada generalizada, . A constante atua como um “momento de inércia efetivo” em torno da progressão ao longo da hélice.
Passo 6
Aplicar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento.
- A equação de Euler–Lagrange para a coordenada
é
- Calcular as derivadas parciais:
- Primeiro
Diferenciando no tempo: - Em seguida
- Substituindo na Euler–Lagrange:
- Ou isolando
:
Passo 7
Comentário físico curto (útil para prova).
- A equação obtida é semejante à equação de um pêndulo, mas a constante no lado direito tem sinal positivo: para pequenos
com obtemos
o que dá crescimento exponencial (instabilidade) em torno de
, indicando que
é ponto de equilíbrio instável (isso vem do fato de
ter máximo em
). Para estudar pequenas oscilações em torno de pontos de equilíbrio estável, lineariza-se em torno do mínimo de
.