Uma partícula na forma de uma pequena esfera de massa m é atravessada por um arame rígido e pode se mover ao longo do arame sem atrito. O movimento da partícula é descrito em termos das coordenadas cilíndricas \rho, \varphi e z. O arame tem a forma de uma hélice, cuja equação em coordenadas cilíndricas é dada por \rho=R e z=a \varphi. A partícula também está sob a ação do potencial V(x)=b x. Aqui a e b são constantes positivas. Qual é a lagrangiana L da partícula e sua equação de movimento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
  • Informações dadas:
    • Massa da partícula: m.
    • Arame em forma de hélice, descrita em coordenadas cilíndricas por \rho=R (constante) e z=a\varphi, com a>0 e R fixo.
    • Potencial externo dependente da coordenada carteseana x: V(x)=b x com b>0.
    • A partícula desliza sem atrito ao longo do arame (portanto há uma restrição que reduz os graus de liberdade).
  • O que o enunciado pede:
    1. A lagrangiana L da partícula.
    2. A equação de movimento (equação de Euler–Lagrange) associada a essa lagrangiana.

Passo 2

Escolher uma coordenada generalizada e relacionar coordenadas.
  • Como a partícula está presa à hélice \rho=R e z=a\varphi, o único grau de liberdade é o ângulo \varphi(t). Então podemos usar \varphi como coordenada generalizada.
  • Em coordenadas cilíndricas o ponto tem componentes cartesianas
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
  • Usando a restrição \rho=R (peguei \rho=R do enunciado) e z=a\varphi (peguei z=a\varphi do enunciado), obtemos a dependência espacial em função de \varphi:
x=R\cos\varphi,\qquad y=R\sin\varphi,\qquad z=a\varphi.

Passo 3

Escrever a energia cinética em coordenadas cilíndricas e aplicar as restrições.
  • Fórmula padrão para energia cinética de uma partícula em coordenadas cilíndricas:
T=\tfrac{1}{2}m\bigl(\dot{\rho}^{2}+\rho^{2}\dot{\varphi}^{2}+\dot{z}^{2}\bigr).
Aqui \dot{\rho} é a velocidade radial, \rho\dot{\varphi} é a velocidade tangencial e \dot{z} é a velocidade axial.
  • Na nossa situação \rho=R constante, logo \dot{\rho}=0. Além disso z=a\varphi implica \dot{z}=a\dot{\varphi}. Substituindo:
T=\tfrac{1}{2}m\bigl(R^{2}\dot{\varphi}^{2}+(a\dot{\varphi})^{2}\bigr).
  • Agrupando termos:
T=\tfrac{1}{2}m\bigl(R^{2}+a^{2}\bigr)\dot{\varphi}^{2}.

Passo 4

Escrever o potencial em função de \varphi.
  • O potencial dado é V(x)=b x. Usando x=R\cos\varphi (peguei x=R\cos\varphi do passo 2) temos:
V(\varphi)=b\,x=b\,R\cos\varphi.

Passo 5

Formar a lagrangiana L=T-V.
  • Substituindo T e V obtidos:
L=\tfrac{1}{2}m\bigl(R^{2}+a^{2}\bigr)\dot{\varphi}^{2}-bR\cos\varphi.
  • Aqui \varphi(t) é a coordenada generalizada, \dot{\varphi}=\dfrac{d\varphi}{dt}. A constante \bigl(R^{2}+a^{2}\bigr) atua como um “momento de inércia efetivo” em torno da progressão ao longo da hélice.

Passo 6

Aplicar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento.
  • A equação de Euler–Lagrange para a coordenada \varphi é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}\right)-\frac{\partial L}{\partial\varphi}=0.
  • Calcular as derivadas parciais:
    • Primeiro
    \frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=m\bigl(R^{2}+a^{2}\bigr)\dot{\varphi}.Diferenciando no tempo: \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}\right)=m\bigl(R^{2}+a^{2}\bigr)\ddot{\varphi}.
    • Em seguida
    \frac{\partial L}{\partial\varphi}=\frac{d}{d\varphi}\bigl(-bR\cos\varphi\bigr)=bR\sin\varphi.
  • Substituindo na Euler–Lagrange:
m\bigl(R^{2}+a^{2}\bigr)\ddot{\varphi}-bR\sin\varphi=0.
  • Ou isolando \ddot{\varphi}:
\ddot{\varphi}=\frac{bR}{m\bigl(R^{2}+a^{2}\bigr)}\sin\varphi.

Passo 7

Comentário físico curto (útil para prova).
  • A equação obtida é semejante à equação de um pêndulo, mas a constante no lado direito tem sinal positivo: para pequenos \varphi com \sin\varphi\approx\varphi obtemos
\ddot{\varphi}\approx\frac{bR}{m\bigl(R^{2}+a^{2}\bigr)}\varphi,
o que dá crescimento exponencial (instabilidade) em torno de \varphi=0, indicando que \varphi=0 é ponto de equilíbrio instável (isso vem do fato de V(\varphi)=bR\cos\varphi ter máximo em \varphi=0). Para estudar pequenas oscilações em torno de pontos de equilíbrio estável, lineariza-se em torno do mínimo de V.

Resposta

L=\tfrac{1}{2}m\bigl(R^{2}+a^{2}\bigr)\dot{\varphi}^{2}-bR\cos\varphi
m\bigl(R^{2}+a^{2}\bigr)\ddot{\varphi}-bR\sin\varphi=0

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