a) Escreva a lagrangiana
para um sistema formado por duas partículas de massas iguais
confinadas a se mover sobre o eixo
e ligadas por uma mola de constante elástica
e comprimento relaxado
. Suponha que a massa
esteja sempre à direita de
.
b) Rescreva
em termos das novas variáveis
(a posição do centro de massa) e da deformação da mola, e obtenha as duas equações de Lagrange para estas duas variáveis.
c) Resolva estas duas equações para obter como estas novas variáveis dependem do tempo e descreva o movimento.
b) Rescreva
c) Resolva estas duas equações para obter como estas novas variáveis dependem do tempo e descreva o movimento.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi pedido e os dados):
- Duas partículas unidimensionais com massas iguais
. - Elas se movem sobre o eixo
, com coordenadas e . - Estão ligadas por uma mola de constante elástica
e comprimento relaxado . - Está explícito que a massa
está sempre à direita de (logo durante o movimento).
O enunciado pede:
(a) escrever a lagrangiana;
(b) reescreverem termos das variáveis (centro de massa) e da deformação da mola, e obter as duas equações de Lagrange nessas variáveis;
(c) resolver essas equações para obter a dependência temporal e descrever o movimento.
Passo 2
O que é a lagrangiana e como montá-la (aulas rápidas):
- A lagrangiana é
, onde é a energia cinética total e a energia potencial. - Aqui as únicas energias são cinética das duas massas e energia da mola. Não há forças dissipativas nem potenciais externos.
Calculemose nas coordenadas .
Energia cinética:
Expliquei: cada partícula tem energia cinética
; somamos as duas.
Energia potencial da mola:
- A extensão real da mola é
(distância entre as massas). - A deformação (extensão além do comprimento relaxado) é
(positivo se esticada).
Logo a energia elástica (energia potencial) é
Expliquei: forma padrão
.
Passo 3
Escrevendo a lagrangiana pedida em (a):
Isso responde a letra (a):
com
e
acima.
Passo 4
Mudança de variáveis para a parte (b). Definimos:
e tomamos como variável que mede a deformação da mola
Expressar
em função de
e
.
Primeiro note que . Resolvendo o sistema
e
temos:
Primeiro note que
Derivando no tempo (lembre
é constante):
Passo 5
Substituir essas expressões em
e
e simplificar (passo-a-passo algebraico).
Calcule :
Calcule
Expandindo os quadrados e somando (os termos cruzados se cancelam):
Explicação intuitiva: isso equivale a
com massa total
e massa reduzida
; de fato
e
.
Potencial em termos de
:
Portanto a lagrangiana em
é
(Alternativamente pode-se escrever
, o que deixa explícito
e
.)
Passo 6
Obter as equações de Euler–Lagrange para
e
.
Recordando a equação de Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada :
Recordando a equação de Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada
Primeiro para
:
-
pois não depende explicitamente de . -
.
Aplicando a equação:
Logo
Interpretação física: o momento linear total
é conservado; centro de massa tem movimento retilíneo uniforme.
Passo 7
Agora para
:
-
. -
.
Aplicando Euler–Lagrange:
Multiplicando por
:
Isto é uma equação harmônica simples; podemos identificar a pulsação natural:
Comentário físico: a coordenada relativa
oscila como um oscilador harmônico com massa efetiva
e constante efetiva
, resultando em
.
Passo 8
Resolver as equações encontradas (parte (c)).
Equação para
:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Interpretação: centro de massa com velocidade constante.
Equação para
:
Solução geral (duas formas equivalentes):
ou
onde as constantes
(ou
) são fixadas por
e
. Em termos das condições iniciais:
(se quiser usar fórmulas explícitas).
Portanto as posições das massas são (lembrando
,
):
Ou escrevendo de forma que fique explícito o movimento relativo:
Passo 9
Descrição física do movimento (resumo didático e intuitivo):
- Movimento de translação do conjunto: o centro de massa se desloca com velocidade constante
(movimento livre), porque não há forças externas. - Movimento relativo: a mola oscila com frequência
. As duas massas oscilam em direções opostas (quando uma se afasta do centro, a outra se aproxima), com amplitude igual a metade da amplitude da deformação (cada massa se move em relação ao centro de massa). - Quando
a mola está no comprimento relaxado . O termo e só fixa as posições médias relativas das massas ao centro de massa.
Resposta
(a)
(b)
com equações de Lagrange
(c)
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