a) Escreva a lagrangiana L\left(x_{1}, x_{2}, \dot{x}_{1}, \dot{x}_{2}\right) para um sistema formado por duas partículas de massas iguais m_{1}=m_{2}=m confinadas a se mover sobre o eixo x e ligadas por uma mola de constante elástica k e comprimento relaxado l. Suponha que a massa m_{1} esteja sempre à direita de m_{2}.
b) Rescreva L em termos das novas variáveis X=\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right) (a posição do centro de massa) e da deformação da mola, e obtenha as duas equações de Lagrange para estas duas variáveis.
c) Resolva estas duas equações para obter como estas novas variáveis dependem do tempo e descreva o movimento.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi pedido e os dados):
  • Duas partículas unidimensionais com massas iguais \,m_{1}=m_{2}=m\,.
  • Elas se movem sobre o eixo x, com coordenadas \,x_{1}(t) e \,x_{2}(t).
  • Estão ligadas por uma mola de constante elástica \,k\, e comprimento relaxado \,l.
  • Está explícito que a massa \,m_{1} está sempre à direita de \,m_{2} (logo \,x_1>x_2 durante o movimento).
    O enunciado pede:
    (a) escrever a lagrangiana L(x_{1},x_{2},\dot x_{1},\dot x_{2});
    (b) reescrever L em termos das variáveis \,X=\tfrac{1}{2}(x_{1}+x_{2}) (centro de massa) e da deformação da mola, e obter as duas equações de Lagrange nessas variáveis;
    (c) resolver essas equações para obter a dependência temporal e descrever o movimento.

Passo 2

O que é a lagrangiana e como montá-la (aulas rápidas):
  • A lagrangiana é \,L=T-V, onde \,T é a energia cinética total e \,V a energia potencial.
  • Aqui as únicas energias são cinética das duas massas e energia da mola. Não há forças dissipativas nem potenciais externos.
    Calculemos T e V nas coordenadas \,x_{1},x_{2}.
Energia cinética:
T=\tfrac{1}{2}m\dot x_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}m\dot x_{2}^{2}.
Expliquei: cada partícula tem energia cinética \tfrac12 m \dot x^2; somamos as duas.
Energia potencial da mola:
  • A extensão real da mola é \,x_{1}-x_{2} (distância entre as massas).
  • A deformação (extensão além do comprimento relaxado) é \,x_{1}-x_{2}-l (positivo se esticada).
    Logo a energia elástica (energia potencial) é
V=\tfrac{1}{2}k\bigl(x_{1}-x_{2}-l\bigr)^{2}.
Expliquei: forma padrão \tfrac12 k (\text{extensão})^2ã.

Passo 3

Escrevendo a lagrangiana pedida em (a):
L(x_{1},x_{2},\dot x_{1},\dot x_{2}) = \tfrac{1}{2}m\dot x_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}m\dot x_{2}^{2} - \tfrac{1}{2}k\bigl(x_{1}-x_{2}-l\bigr)^{2}.
Isso responde a letra (a): L=T-V com T e V acima.

Passo 4

Mudança de variáveis para a parte (b). Definimos:
X=\tfrac{1}{2}(x_{1}+x_{2})\qquad\text{(posição do centro de massa)}çã
e tomamos como variável que mede a deformação da mola
r \equiv x_{1}-x_{2}-l\qquad\text{(deformação; }r=0\text{ quando a mola está relaxada).}çãá
Expressar x_{1},x_{2} em função de X e r.
Primeiro note que x_{1}-x_{2}=r+l. Resolvendo o sistema \,X=\tfrac12(x_{1}+x_{2}) e \,x_{1}-x_{2}=r+l temos:
x_{1}=X+\tfrac{1}{2}(r+l),\qquad x_{2}=X-\tfrac{1}{2}(r+l).
Derivando no tempo (lembre l é constante):
\dot x_{1}=\dot X+\tfrac{1}{2}\dot r,\qquad \dot x_{2}=\dot X-\tfrac{1}{2}\dot r.

Passo 5

Substituir essas expressões em T e V e simplificar (passo-a-passo algebraico).
Calcule T:
T=\tfrac{1}{2}m\bigl(\dot X+\tfrac{1}{2}\dot r\bigr)^{2} +\tfrac{1}{2}m\bigl(\dot X-\tfrac{1}{2}\dot r\bigr)^{2}.
Expandindo os quadrados e somando (os termos cruzados se cancelam):
T=\tfrac{1}{2}m\bigl(2\dot X^{2}+\tfrac{1}{2}\dot r^{2}\bigr) = m\dot X^{2}+\tfrac{1}{4}m\dot r^{2}.
Explicação intuitiva: isso equivale a \tfrac12 M\dot X^2+\tfrac12\mu\dot r^2 com massa total M=2m e massa reduzida \mu=\tfrac{m}{2}; de fato \tfrac12(2m)\dot X^2=m\dot X^2 e \tfrac12(\tfrac{m}{2})\dot r^2=\tfrac14 m\dot r^2.
Potencial em termos de r:
V=\tfrac{1}{2}k r^{2}.
Portanto a lagrangiana em X,r é
L(X,r,\dot X,\dot r)= m\dot X^{2}+\tfrac{1}{4}m\dot r^{2}-\tfrac{1}{2}k r^{2}.
(Alternativamente pode-se escrever L=\tfrac12(2m)\dot X^2+\tfrac12(\tfrac m2)\dot r^2-\tfrac12 k r^2, o que deixa explícito M e \mu.)

Passo 6

Obter as equações de Euler–Lagrange para X e r.
Recordando a equação de Euler–Lagrange para uma coordenada generalizada q:
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\Bigr)-\frac{\partial L}{\partial q}=0.
Primeiro para X:
  • \dfrac{\partial L}{\partial X}=0 pois L não depende explicitamente de X.
  • \dfrac{\partial L}{\partial\dot X}=2m\dot X.
    Aplicando a equação:
\frac{d}{dt}(2m\dot X)-0=0 \quad\Rightarrow\quad 2m\ddot X=0.
Logo
\ddot X=0.
Interpretação física: o momento linear total P_X=2m\dot X é conservado; centro de massa tem movimento retilíneo uniforme.

Passo 7

Agora para r:
  • \dfrac{\partial L}{\partial r}=-k r.
  • \dfrac{\partial L}{\partial\dot r}=\tfrac{1}{2}m\dot r.
    Aplicando Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac{1}{2}m\dot r\Bigr)-(-k r)=0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}m\ddot r + k r = 0.
Multiplicando por 2:
m\ddot r + 2k r = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \ddot r + \frac{2k}{m}\,r = 0.
Isto é uma equação harmônica simples; podemos identificar a pulsação natural:
\omega^{2}=\frac{2k}{m}\qquad\Rightarrow\qquad \omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}.
Comentário físico: a coordenada relativa r oscila como um oscilador harmônico com massa efetiva \mu=m/2 e constante efetiva k, resultando em \omega=\sqrt{k/\mu}=\sqrt{2k/m}.

Passo 8

Resolver as equações encontradas (parte (c)).
Equação para X:
\ddot X=0 \quad\Rightarrow\quad X(t)=V\,t+X_{0},
onde V=\dot X(0) e X_{0}=X(0) são constantes determinadas pelas condições iniciais. Interpretação: centro de massa com velocidade constante.
Equação para r:
\ddot r + \omega^{2} r = 0,\quad \omega=\sqrt{\tfrac{2k}{m}}.
Solução geral (duas formas equivalentes):
r(t)=A\cos(\omega t+\varphi)
ou
r(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t),
onde as constantes A,\varphi (ou C,D) são fixadas por r(0) e \dot r(0). Em termos das condições iniciais:
A=\sqrt{r(0)^{2}+\bigl(\dot r(0)/\omega\bigr)^{2}},\qquad \varphi=\operatorname{atan2}\bigl(-\dot r(0)/\omega,\,r(0)\bigr)
(se quiser usar fórmulas explícitas).
Portanto as posições das massas são (lembrando x_{1}=X+\tfrac{1}{2}(r+l), x_{2}=X-\tfrac{1}{2}(r+l)):
x_{1}(t)=X_{0}+Vt+\tfrac{1}{2}\bigl(l + A\cos(\omega t+\varphi)\bigr),
x_{2}(t)=X_{0}+Vt-\tfrac{1}{2}\bigl(l + A\cos(\omega t+\varphi)\bigr).
Ou escrevendo de forma que fique explícito o movimento relativo:
x_{1}(t)=\bigl(X_{0}+\tfrac{l}{2}\bigr)+Vt+\tfrac{A}{2}\cos(\omega t+\varphi),
x_{2}(t)=\bigl(X_{0}-\tfrac{l}{2}\bigr)+Vt-\tfrac{A}{2}\cos(\omega t+\varphi).

Passo 9

Descrição física do movimento (resumo didático e intuitivo):
  • Movimento de translação do conjunto: o centro de massa se desloca com velocidade constante V (movimento livre), porque não há forças externas.
  • Movimento relativo: a mola oscila com frequência \omega=\sqrt{2k/m}. As duas massas oscilam em direções opostas (quando uma se afasta do centro, a outra se aproxima), com amplitude igual a metade da amplitude da deformação r (cada massa se move \pm A/2 em relação ao centro de massa).
  • Quando r=0 a mola está no comprimento relaxado l. O termo +\tfrac l2 e -\tfrac l2 só fixa as posições médias relativas das massas ao centro de massa.

Resposta

(a) L=\tfrac{1}{2}m\dot x_{1}^{2}+\tfrac{1}{2}m\dot x_{2}^{2}-\tfrac{1}{2}k\bigl(x_{1}-x_{2}-l\bigr)^{2}.
(b) L(X,r,\dot X,\dot r)=m\dot X^{2}+\tfrac{1}{4}m\dot r^{2}-\tfrac{1}{2}k r^{2},
com equações de Lagrange
\ddot X=0, \qquad \ddot r+\frac{2k}{m}\,r=0.
(c) X(t)=X_{0}+Vt, \qquad r(t)=A\cos\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr),\quad \omega=\sqrt{\tfrac{2k}{m}},
logo
x_{1}(t)=X_{0}+Vt+\tfrac{1}{2}\bigl(l+A\cos(\omega t+\varphi)\bigr), \qquad x_{2}(t)=X_{0}+Vt-\tfrac{1}{2}\bigl(l+A\cos(\omega t+\varphi)\bigr).

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