QUESTÃO 3. Considere um sistema composto por uma mola contendo uma massa
numa das suas extremidades enquanto a outra se move a velocidade constante apresenta uma Lagrangeana igual a:
Mostre que a Hamiltoniana é:
Passo 1
O enunciado dá a Lagrangeana do sistema e pede para mostrar que a Hamiltoniana tem uma forma específica. Vou listar claramente o que o problema fornece e o que é pedido.
- Dado: a Lagrangeana
onde:
-
é a coordenada generalizada (deslocamento da massa), -
é a velocidade generalizada ( ), -
é a massa, -
é a constante elástica da mola, -
é a velocidade constante da outra extremidade da mola, -
é o tempo. -
Pedido: mostrar que a Hamiltoniana é
onde
é o momento canônico associado à coordenada
.
Passo 2
Definição do momento canônico e cálculo explícito.
- Conceito: o momento canônico
é definido como a derivada parcial da Lagrangeana em relação à velocidade generalizada correspondente:
Aqui isso significa: pegue
e derive em relação a
, tratando
e
como independentes nessa derivada.
- Aplicando a definição à Lagrangeana dada:
A segunda parcela
não depende de
, então sua derivada é zero. A derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 3
Inverter a relação para obter
em função de
.
- Como
, isolamos :
Isto será usado na Legendre-transformação que define a Hamiltoniana.
Passo 4
Definição da Hamiltoniana (ideia da transformação de Legendre).
- Conceito: a Hamiltoniana
é dada pelo produto momento-velocidade menos a Lagrangeana:
onde a expressão deve ser escrita em termos de
,
e
(substituindo
por
). Esta é a transformação de Legendre que troca a dependência de
pela dependência em
.
Passo 5
Substituir
na expressão
e calcular passo a passo.
- Primeiro escrevo
:
- Agora escrevo
em termos de usando . A parte cinética vira:
A parte potencial
permanece igual pois não depende de
. Então
- Agora faço
Passo 6
Simplificar a expressão para obter a forma final.
- Simplificando os termos de
:
- Mantendo o sinal do termo potencial (saiu com sinal + porque era subtraído um
):
- Reescrevendo de maneira habitual:
Passo 7
Interpretação rápida e lembrete prático (ajuda para a prova).
- Observação sobre termos: o primeiro termo
é a energia cinética escrita em termos do momento canônico (porque leva a ). O segundo termo é a energia potencial elástica da mola, dependente de porque a outra extremidade se move com velocidade . - Nota importante para a prova: como
depende explicitamente de (via ), a energia total não é conservada nesse referencial; isto é um detalhe físico que pode ser pedido em questões relacionadas.