QUESTÃO 3. Considere um sistema composto por uma mola contendo uma massa m numa das suas extremidades enquanto a outra se move a velocidade constante apresenta uma Lagrangeana igual a:
L=\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}-\frac{k}{2}\left(x-v_{0} t\right)^{2}
Mostre que a Hamiltoniana é:
H=\frac{p_{x}^{2}}{2 m}+\frac{k}{2}\left(x-v_{0} t\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a Lagrangeana do sistema e pede para mostrar que a Hamiltoniana tem uma forma específica. Vou listar claramente o que o problema fornece e o que é pedido.
  • Dado: a Lagrangeana
L=\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}-\frac{k}{2}\left(x-v_{0} t\right)^{2},
onde:
  • x é a coordenada generalizada (deslocamento da massa),
  • \dot{x} é a velocidade generalizada ( \dot{x}=dx/dt),
  • m é a massa,
  • k é a constante elástica da mola,
  • v_{0} é a velocidade constante da outra extremidade da mola,
  • t é o tempo.
  • Pedido: mostrar que a Hamiltoniana é
H=\frac{p_{x}^{2}}{2 m}+\frac{k}{2}\left(x-v_{0} t\right)^{2},
onde p_{x} é o momento canônico associado à coordenada x.

Passo 2

Definição do momento canônico e cálculo explícito.
  • Conceito: o momento canônico p_{x} é definido como a derivada parcial da Lagrangeana em relação à velocidade generalizada correspondente:
p_{x}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}.
Aqui isso significa: pegue L e derive em relação a \dot{x}, tratando x e t como independentes nessa derivada.
  • Aplicando a definição à Lagrangeana dada:
p_{x}=\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\frac{1}{2} m \dot{x}^{2}-\frac{k}{2}\left(x-v_{0} t\right)^{2}\right).
A segunda parcela -\dfrac{k}{2}(x-v_0 t)^2 não depende de \dot{x}, então sua derivada é zero. A derivada de \tfrac{1}{2}m\dot{x}^2 em relação a \dot{x} é m\dot{x}. Portanto:
p_{x}=m\dot{x}.

Passo 3

Inverter a relação para obter \dot{x} em função de p_{x}.
  • Como p_{x}=m\dot{x}, isolamos \dot{x}:
\dot{x}=\frac{p_{x}}{m}.
Isto será usado na Legendre-transformação que define a Hamiltoniana.

Passo 4

Definição da Hamiltoniana (ideia da transformação de Legendre).
  • Conceito: a Hamiltoniana H é dada pelo produto momento-velocidade menos a Lagrangeana:
H=p_{x}\dot{x}-L,
onde a expressão deve ser escrita em termos de x, p_{x} e t (substituindo \dot{x} por \dot{x}(p_{x})). Esta é a transformação de Legendre que troca a dependência de \dot{x} pela dependência em p_{x}.

Passo 5

Substituir \dot{x}=\dfrac{p_{x}}{m} na expressão H=p_{x}\dot{x}-L e calcular passo a passo.
  • Primeiro escrevo p_{x}\dot{x}:
p_{x}\dot{x}=p_{x}\left(\frac{p_{x}}{m}\right)=\frac{p_{x}^{2}}{m}.
  • Agora escrevo L em termos de p_{x} usando \dot{x}=\dfrac{p_{x}}{m}. A parte cinética vira:
\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}=\frac{1}{2}m\left(\frac{p_{x}}{m}\right)^{2}=\frac{1}{2}\frac{p_{x}^{2}}{m}.
A parte potencial -\dfrac{k}{2}(x-v_0 t)^2 permanece igual pois não depende de \dot{x}. Então
L=\frac{1}{2}\frac{p_{x}^{2}}{m}-\frac{k}{2}\left(x-v_{0} t\right)^{2}.
  • Agora faço
H=p_{x}\dot{x}-L=\frac{p_{x}^{2}}{m}-\left(\frac{1}{2}\frac{p_{x}^{2}}{m}-\frac{k}{2}\left(x-v_{0} t\right)^{2}\right).

Passo 6

Simplificar a expressão para obter a forma final.
  • Simplificando os termos de p_{x}^{2}:
\frac{p_{x}^{2}}{m}-\frac{1}{2}\frac{p_{x}^{2}}{m}=\frac{1}{2}\frac{p_{x}^{2}}{m}.
  • Mantendo o sinal do termo potencial (saiu com sinal + porque era subtraído um -\dfrac{k}{2}(x-v_0 t)^2):
H=\frac{1}{2}\frac{p_{x}^{2}}{m}+\frac{k}{2}\left(x-v_{0} t\right)^{2}.
  • Reescrevendo de maneira habitual:
H=\frac{p_{x}^{2}}{2m}+\frac{k}{2}\left(x-v_{0} t\right)^{2}.

Passo 7

Interpretação rápida e lembrete prático (ajuda para a prova).
  • Observação sobre termos: o primeiro termo \dfrac{p_{x}^{2}}{2m} é a energia cinética escrita em termos do momento canônico p_{x} (porque p_{x}=m\dot{x} leva a \tfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}=\tfrac{p_{x}^{2}}{2m}). O segundo termo \dfrac{k}{2}(x-v_{0}t)^{2} é a energia potencial elástica da mola, dependente de t porque a outra extremidade se move com velocidade v_{0}.
  • Nota importante para a prova: como H depende explicitamente de t (via v_{0}t), a energia total não é conservada nesse referencial; isto é um detalhe físico que pode ser pedido em questões relacionadas.

Resposta

H=\frac{p_{x}^{2}}{2 m}+\frac{k}{2}\left(x-v_{0} t\right)^{2}

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