QUESTÃO 2. Uma partícula de massa
se move em uma dimensão com uma energia potencial:
. Encontre as equações de Hamilton.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede algo claro:
- Informação: uma partícula unidimensional de massa
tem energia potencial
- Pedido: “Encontre as equações de Hamilton.” Ou seja, obter o Hamiltoniano
e as equações canônicas
expressas em termos de
(onde
é o momento canônico).
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever o Lagrangiano. Para uma partícula sem forças dissipativas a energia cinética é
e o Lagrangiano é sempre a diferença energia cinética menos potencial:
Explicação:
é a coordenada generalizada,
é a velocidade,
depende só de
e
neste problema unidimensional.
Passo 3
Definir o momento canônico. Pelo formalismo lagrangiano, o momento canônico conjugado a
é
Calculemos explicitamente:
Interpretação prática: aqui o momento canônico coincide com o momento linear usual
. Em prova: sempre calcule
e isole
em função de
quando necessário.
Passo 4
Expressar
em função de
. Da última igualdade temos
Esta expressão será usada na transformação de Legendre para achar o Hamiltoniano.
Passo 5
Construir o Hamiltoniano via transformada de Legendre:
onde
deve ser substituído pela expressão em termos de
. Substituindo
e
:
Agora simplificar passo a passo:
Portanto
Comentário:
é a energia total
escrita em termos de
e
.
Passo 6
Recordar as equações de Hamilton e calcular as derivadas parciais necessárias. As equações canônicas são
Calcule
:
pois os termos que dependem apenas de
têm derivada zero em relação a
.
Calcule : primeiro derivada de
,
Calcule
Logo
Passo 7
Substituir nas equações de Hamilton e escrever a forma final. Assim:
Observação útil para prova: pode também combinar essas duas equações para recuperar a equação de movimento em segunda ordem (Lei de Newton):
Para pequenas oscilações (quando
é pequeno) o termo em
é desprezível e a aproximação linear dá um oscilador harmônico com constante efetiva
e frequência
(se
) — dica prática para questões de análise de estabilidade.