QUESTÃO 2. Uma partícula de massa m se move em uma dimensão com uma energia potencial: U=\frac{a x^{2}}{4}+\frac{b x^{3}}{6}. Encontre as equações de Hamilton.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede algo claro:
  • Informação: uma partícula unidimensional de massa \,m\, tem energia potencial
U(x)=\frac{a x^{2}}{4}+\frac{b x^{3}}{6}.
  • Pedido: “Encontre as equações de Hamilton.” Ou seja, obter o Hamiltoniano H(x,p) e as equações canônicas
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x},
expressas em termos de \,x\,,p (onde p é o momento canônico).

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever o Lagrangiano. Para uma partícula sem forças dissipativas a energia cinética é
T=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2},
e o Lagrangiano é sempre a diferença energia cinética menos potencial:
L(x,\dot{x})=T-U(x)=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\left(\frac{a x^{2}}{4}+\frac{b x^{3}}{6}\right).
Explicação: x é a coordenada generalizada, \dot{x} é a velocidade, L depende só de x e \dot{x} neste problema unidimensional.

Passo 3

Definir o momento canônico. Pelo formalismo lagrangiano, o momento canônico conjugado a x é
p=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}.
Calculemos explicitamente:
p=\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}\right)=m\dot{x}.
Interpretação prática: aqui o momento canônico coincide com o momento linear usual m\dot{x}. Em prova: sempre calcule \partial L/\partial\dot{x} e isole \dot{x} em função de p quando necessário.

Passo 4

Expressar \dot{x} em função de p. Da última igualdade temos
\dot{x}=\frac{p}{m}.
Esta expressão será usada na transformação de Legendre para achar o Hamiltoniano.

Passo 5

Construir o Hamiltoniano via transformada de Legendre:
H(x,p)=p\dot{x}-L(x,\dot{x}),
onde \dot{x} deve ser substituído pela expressão em termos de p. Substituindo L e \dot{x}=p/m:
H(x,p)=p\left(\frac{p}{m}\right)-\left[\frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^{2}-\left(\frac{a x^{2}}{4}+\frac{b x^{3}}{6}\right)\right].
Agora simplificar passo a passo:
p\left(\frac{p}{m}\right)=\frac{p^{2}}{m},
\frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^{2}=\frac{1}{2}m\frac{p^{2}}{m^{2}}=\frac{p^{2}}{2m}.
Portanto
H(x,p)=\frac{p^{2}}{m}-\frac{p^{2}}{2m}+\frac{a x^{2}}{4}+\frac{b x^{3}}{6}=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{a x^{2}}{4}+\frac{b x^{3}}{6}.
Comentário: H é a energia total T+U escrita em termos de x e p.

Passo 6

Recordar as equações de Hamilton e calcular as derivadas parciais necessárias. As equações canônicas são
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}.
Calcule \partial H/\partial p:
\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{p^{2}}{2m}+\frac{a x^{2}}{4}+\frac{b x^{3}}{6}\right)=\frac{p}{m},
pois os termos que dependem apenas de x têm derivada zero em relação a p.
Calcule \partial H/\partial x: primeiro derivada de U(x),
\frac{dU}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{a x^{2}}{4}+\frac{b x^{3}}{6}\right)=\frac{a}{2}x+\frac{b}{2}x^{2}.
Logo
\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{a}{2}x+\frac{b}{2}x^{2}.

Passo 7

Substituir nas equações de Hamilton e escrever a forma final. Assim:
\dot{x}=\frac{p}{m},
\dot{p}=-\left(\frac{a}{2}x+\frac{b}{2}x^{2}\right)=-\frac{a}{2}x-\frac{b}{2}x^{2}.
Observação útil para prova: pode também combinar essas duas equações para recuperar a equação de movimento em segunda ordem (Lei de Newton):
m\ddot{x}=\dot{p}=-\frac{a}{2}x-\frac{b}{2}x^{2}.
Para pequenas oscilações (quando x é pequeno) o termo em x^{2} é desprezível e a aproximação linear dá um oscilador harmônico com constante efetiva k_{\text{eff}}=a/2 e frequência \omega=\sqrt{\tfrac{a}{2m}} (se a>0) — dica prática para questões de análise de estabilidade.

Resposta

H(x,p)=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{a x^{2}}{4}+\frac{b x^{3}}{6}
\dot{x}=\frac{p}{m}
\dot{p}=-\frac{a}{2}x-\frac{b}{2}x^{2}

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