Uma laje ocupa a região: \mathrm{R}=\{0 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq 3\}. A densidade superficial do material varia segundo: \rho(x, y)=2500+50 x\left(\mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}\right). Determine a massa toral da laje.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A região da laje é R=\{0 \leq x \leq 4,\;0 \leq y \leq 3\}.
  • A densidade superficial varia segundo \rho(x,y)=2500+50x (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2).
    O que se pede: determinar a massa total da laje (em \mathrm{kg}).

Passo 2

Ideia física e matemática usada: a massa total de uma placa com densidade superficial variável \rho(x,y) é a integral dupla da densidade sobre a região R. Em fórmula:
m=\iint_{R}\rho(x,y)\,dA,
onde dA representa um elemento de área (a unidade de dA é \mathrm{m}^2), e a unidade de \rho é \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2, de modo que a integral tem unidade \mathrm{kg}. Essa fórmula vem da soma (integral) da massa de cada pedacinho de área com massa aproximada \rho(x,y)\,dA.

Passo 3

Montamos a integral dupla com os limites do retângulo R. Como os limites são constantes, podemos escrever a integral iterada (escolhi integrar primeiro em y e depois em x):
m=\int_{x=0}^{4}\!\int_{y=0}^{3}\bigl(2500+50x\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em y. A função \bigl(2500+50x\bigr) é constante em relação a y, então:
\int_{y=0}^{3}\bigl(2500+50x\bigr)\,dy=\bigl(2500+50x\bigr)\cdot y\Big|_{0}^{3}=3\bigl(2500+50x\bigr).
Fazendo a multiplicação por dentro:
3\bigl(2500+50x\bigr)=7500+150x.

Passo 5

Agora integramos em x:
m=\int_{0}^{4}\bigl(7500+150x\bigr)\,dx.
Calculemos a primitiva termo a termo:
\int\bigl(7500+150x\bigr)\,dx=7500x+75x^{2}+C.
Avaliação entre 0 e 4:
m=\bigl(7500\cdot 4 + 75\cdot 4^{2}\bigr)-\bigl(7500\cdot 0 + 75\cdot 0^{2}\bigr)=30000+75\cdot 16.
Calcule 75\cdot 16: 75\cdot 10=750 e 75\cdot 6=450, somando dá 1200. Então a soma é 30000+1200=31200.

Passo 6

Checagem alternativa (mesma ideia, dividir a integral):
m=\iint_{R}2500\,dA+\iint_{R}50x\,dA.
  • Primeiro termo: 2500\cdot área de R. A área é 4\cdot 3=12, logo 2500\cdot 12=30000.
  • Segundo termo: 50 vezes \iint_{R}x\,dA. Como x não depende de y,
\iint_{R}x\,dA=\left(\int_{0}^{4}x\,dx\right)\left(\int_{0}^{3}dy\right)=\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{4}\cdot 3=8\cdot 3=24,
portanto 50\cdot 24=1200.
Somando: 30000+1200=31200, confirma o resultado.

Passo 7

Unidade: como \rho está em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2 e integrámos sobre área em \mathrm{m}^2, o resultado está em \mathrm{kg}. Fica então o valor final da massa (ver seção de resposta).

Resposta

\,31200\\ \mathrm{kg}

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