Uma laje ocupa a região: \mathrm{R}=\{0 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq 3\}. A densidade superficial do material varia segundo: \rho(x, y)=2500+50 x\left(\mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}\right). Determine a massa toral da laje.
Passo 1
O enunciado dá:
A região da laje é R=\{0 \leq x \leq 4,\;0 \leq y \leq 3\}.
A densidade superficial varia segundo \rho(x,y)=2500+50x (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2).
O que se pede: determinar a massa total da laje (em \mathrm{kg}).
Passo 2
Ideia física e matemática usada: a massa total de uma placa com densidade superficial variável \rho(x,y) é a integral dupla da densidade sobre a região R. Em fórmula:
m=\iint_{R}\rho(x,y)\,dA,
onde dA representa um elemento de área (a unidade de dA é \mathrm{m}^2), e a unidade de \rho é \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2, de modo que a integral tem unidade \mathrm{kg}. Essa fórmula vem da soma (integral) da massa de cada pedacinho de área com massa aproximada \rho(x,y)\,dA.
Passo 3
Montamos a integral dupla com os limites do retângulo R. Como os limites são constantes, podemos escrever a integral iterada (escolhi integrar primeiro em y e depois em x):
portanto 50\cdot 24=1200.
Somando: 30000+1200=31200, confirma o resultado.
Passo 7
Unidade: como \rho está em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2 e integrámos sobre área em \mathrm{m}^2, o resultado está em \mathrm{kg}. Fica então o valor final da massa (ver seção de resposta).