Uma placa triangular ocupa a região limitada por: 0 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq 2 x, com densidade constante \rho=1. Determine:
\bar{x}=\frac{1}{A} \iint_{R} x d A, \quad \bar{y}=\frac{1}{A} \iint_{R} y d A
onde A é a área da região.

Passo 1

O enunciado dá uma placa triangular com densidade constante \rho=1 ocupando a região R limitada por:
  • 0 \le x \le 4,
  • 0 \le y \le 2x.
O que é pedido:
  • Calcular \bar{x}=\dfrac{1}{A}\iint_{R} x\,dA.
  • Calcular \bar{y}=\dfrac{1}{A}\iint_{R} y\,dA.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A densidade é constante e igual a 1, logo as fórmulas dos momentos reduzem a integrais simples de x e y sobre a região.
  • A região R é a faixa entre as curvas y=0 e y=2x para x indo de 0 a 4.
  • É preciso primeiro calcular a área A de R para dividir os momentos e obter as coordenadas do centróide.

Passo 2

Fórmulas e ideias que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A área A da região R pode ser escrita como a integral dupla
A=\iint_{R} dA.
Aqui dA representa um elemento de área (um retângulo infinitesimal), e integrar sobre R soma todas essas áreas.
  • As coordenadas do centróide (com densidade constante \rho=1) são
\bar{x}=\frac{1}{A}\iint_{R} x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\iint_{R} y\,dA.
Nessas fórmulas, \iint_{R} x\,dA é o momento estático em relação ao eixo y (soma de x ponderada pela área), e análogamente para \iint_{R} y\,dA.
  • Como a região R está descrita por 0\le x\le4 e 0\le y\le 2x, é conveniente usar a ordem de integração dy\,dx. Então, uma integral dupla típica fica
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{2x} f(x,y)\,dy\right)dx.

Passo 3

Calcular a área A usando integração:
A=\iint_{R} dA = \int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{2x} 1\,dy\right)dx.
Primeiro a integral interna em y:
\int_{y=0}^{2x} 1\,dy = [y]_{0}^{2x} = 2x.
Agora integrar em x:
A=\int_{0}^{4} 2x\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{4} 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{4} = x^{2}\Big|_{0}^{4} = 4^{2}-0 = 16.
Portanto A=16.
Observação rápida: corresponde à área de um triângulo de base 4 e altura 8, cujo valor é \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=16, checando a integral.

Passo 4

Calcular \iint_{R} x\,dA (momento em relação ao eixo y):
\iint_{R} x\,dA = \int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{2x} x\,dy\right)dx.
A integral interna em y trata x como constante:
\int_{y=0}^{2x} x\,dy = x\cdot[y]_{0}^{2x} = x\cdot(2x) = 2x^{2}.
Agora integrar em x:
\iint_{R} x\,dA = \int_{0}^{4} 2x^{2}\,dx.
Calcule a integral:
\int_{0}^{4} 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{4} = \frac{2}{3}\cdot 4^{3} = \frac{2}{3}\cdot 64 = \frac{128}{3}.

Passo 5

Calcular \bar{x} usando A=16 e \iint_{R} x\,dA=\dfrac{128}{3}:
\bar{x}=\frac{1}{A}\iint_{R} x\,dA = \frac{1}{16}\cdot\frac{128}{3} = \frac{128}{48} = \frac{8}{3}.
Então \bar{x}=\dfrac{8}{3}.

Passo 6

Calcular \iint_{R} y\,dA (momento em relação ao eixo x):
\iint_{R} y\,dA = \int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{2x} y\,dy\right)dx.
Integral interna em y:
\int_{y=0}^{2x} y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2x} = \frac{(2x)^{2}}{2} = \frac{4x^{2}}{2} = 2x^{2}.
Agora integrar em x:
\iint_{R} y\,dA = \int_{0}^{4} 2x^{2}\,dx.
Isso é exatamente a mesma integral que em

Passo 7

\iint_{R} y\,dA = \frac{128}{3}.

Passo 8

Calcular \bar{y} usando A=16 e \iint_{R} y\,dA=\dfrac{128}{3}:
\bar{y}=\frac{1}{A}\iint_{R} y\,dA = \frac{1}{16}\cdot\frac{128}{3} = \frac{8}{3}.
Então \bar{y}=\dfrac{8}{3}.

Passo 9

Checagem rápida e intuição: para um triângulo com vértices (0,0), (4,0) e (4,8), o centróide é a média aritmética das coordenadas dos vértices,
\left(\frac{0+4+4}{3},\frac{0+0+8}{3}\right)=\left(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right),
o que confirma os resultados obtidos pelas integrais. Bom sinal de consistência!

Resposta

\bar{x}=\dfrac{8}{3}
\bar{y}=\dfrac{8}{3}

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