Uma placa triangular ocupa a região limitada por:
, com densidade constante
. Determine:
onde A é a área da região.
Passo 1
O enunciado dá uma placa triangular com densidade constante
ocupando a região
limitada por:
-
, -
.
O que é pedido:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A densidade é constante e igual a
, logo as fórmulas dos momentos reduzem a integrais simples de e sobre a região. - A região
é a faixa entre as curvas e para indo de a . - É preciso primeiro calcular a área
de para dividir os momentos e obter as coordenadas do centróide.
Passo 2
Fórmulas e ideias que vamos usar (explicando cada símbolo):
- A área
da região pode ser escrita como a integral dupla
Aqui
representa um elemento de área (um retângulo infinitesimal), e integrar sobre
soma todas essas áreas.
- As coordenadas do centróide (com densidade constante
) são
Nessas fórmulas,
é o momento estático em relação ao eixo
(soma de
ponderada pela área), e análogamente para
.
- Como a região
está descrita por e , é conveniente usar a ordem de integração . Então, uma integral dupla típica fica
Passo 3
Calcular a área
usando integração:
Primeiro a integral interna em
:
Agora integrar em
:
Calcule a integral:
Portanto
.
Observação rápida: corresponde à área de um triângulo de base
e altura
, cujo valor é
, checando a integral.
Passo 4
Calcular
(momento em relação ao eixo
):
A integral interna em
trata
como constante:
Agora integrar em
:
Calcule a integral:
Passo 5
Calcular
usando
e
:
Então
.
Passo 6
Calcular
(momento em relação ao eixo
):
Integral interna em
:
Agora integrar em
:
Isso é exatamente a mesma integral que em
Passo 7
Passo 8
Calcular
usando
e
:
Então
.
Passo 9
Checagem rápida e intuição: para um triângulo com vértices
,
e
, o centróide é a média aritmética das coordenadas dos vértices,
o que confirma os resultados obtidos pelas integrais. Bom sinal de consistência!