Uma placa de soda-cal-sílica falha a 100 MPa . Estime o tamanho de defeito expondo qualquer consideração que julgar necessária. Assuma que o vidro tem E=70 GPa e gamma=315 x 10^-3 J / m^2. Se a placa fosse de sílica fundida e tivesse o mesmo tamanho de defeito encontrado, qual seria a máxima tensão aplicada que ela poderia suportar sem fraturar? Nesse caso, assuma que o vidro tem E=73 GPa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como uma placa de vidro soda-cal-sílica quebrou sob uma tensão de 100 MPa. A gente precisa descobrir o tamanho de um defeito (tipo uma rachadura) nessa placa. Depois, usando o mesmo defeito, vamos ver qual seria a maior tensão que uma placa de sílica fundida pode aguentar sem quebrar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica da Fratura, que estuda como e por que materiais quebram, especialmente quando têm defeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a fratura de vidros muitas vezes acontece por causa de pequenas rachaduras ou defeitos. A tensão máxima que um material pode suportar antes de quebrar está relacionada ao tamanho desse defeito. A relação entre a tensão (σ), o módulo de elasticidade (E), e a energia de fratura (γ) é dada por uma fórmula que liga esses valores.
A fórmula que vamos usar é:
sigma = raiz2 E gammapi a
Aqui:
  • sigma é a tensão máxima que o material pode suportar.
  • E é o módulo de elasticidade do material.
  • gamma é a energia de fratura.
  • a é o tamanho do defeito.
Nosso objetivo é encontrar a, o tamanho do defeito, usando os dados da primeira parte do problema.

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para resolver a:
a = 2 E gammapi sigma^2
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
  • E = 70 GPa = 70 times 10^9 Pa
  • gamma = 315 times 10^-3 J/m^2
  • sigma = 100 times 10^6 Pa
Substituindo na fórmula:
a = 2 times 70 times 10^9 times 315 times 10^-3pi times (100 times 10^6)^2

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, o numerador:
2 times 70 times 10^9 times 315 times 10^-3 = 2 times 70 times 315 times 10^9 - 3 = 2 times 70 times 315 times 10^6
2 times 70 = 140; 140 times 315 = 44100; 44100 times 10^6 = 4.41 times 10^10
Agora, o denominador:
pi times (100 times 10^6)^2 = pi times 10^4 times 10^12 = pi times 10^16
Então, a:
a = 4.41 times 10^10pi times 10^16 = 4.41pi times 10^-6
Calculando 4.41pi approx 1.404:
a approx 1.404 times 10^-6 m = 1.404 times 10^-3 mm = 1.404 micrômetros ô

Passo 5

Agora que temos o tamanho do defeito, vamos calcular a máxima tensão que a sílica fundida pode suportar com o mesmo defeito. Usamos a mesma fórmula, mas agora queremos achar sigma:
sigma = raiz2 E gammapi a
Substituindo os valores:
  • E = 73 GPa = 73 times 10^9 Pa
  • gamma = 315 times 10^-3 J/m^2
  • a = 1.404 times 10^-6 m
sigma = raiz2 times 73 times 10^9 times 315 times 10^-3pi times 1.404 times 10^-6

Passo 6

Calculando o numerador dentro da raiz:
2 times 73 times 10^9 times 315 times 10^-3 = 2 times 73 times 315 times 10^9 - 3 = 2 times 73 times 315 times 10^6 = 2 times 73 = 146; 146 times 315 = 45,990; 45,990 times 10^6 = 4.599 times 10^10
Denominador:
pi times 1.404 times 10^-6 approx 4.414 times 10^-6
Agora, a fração:
4.599 times 10^104.414 times 10^-6 approx 1.041 times 10^16
Então,
sigma = raiz1.041 times 10^16 approx 3.223 times 10^8 Pa = 322.3 MPa

Resposta

A máxima tensão aplicada que a sílica fundida pode suportar sem fraturar, com o mesmo tamanho de defeito, é aproximadamente 322,3 MPa.

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