Uma lâmina com densidade constante
ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia
e
e os raios de giração
.
O retângulo
O retângulo
Passo 1
O enunciado diz que temos uma lâmina de densidade constante
ocupando o retângulo
. Precisamos encontrar os momentos de inércia em relação aos eixos
e
(ou seja,
e
) e os raios de giração
e
. Vamos usar integrais duplas para calcular
e
e a definição
para os raios de giração.
Passo 2
Primeiro encontramos a massa total
da lâmina usando
:
Passo 3
Para o momento de inércia em torno do eixo
(que é
), fazemos:
Passo 4
Para o momento de inércia em torno do eixo
(isto é,
), temos:
Passo 5
Os raios de giração
e
são definidos por
Substituindo
,
e
:
Resposta
I_x=\frac{\rho,b,h^3}{3}, \quad I_y=\frac{\rho,h,b^3}{3}, \quad \bar{x}=\frac{h}{\sqrt3}, \quad \bar{y}=\frac{b}{\sqrt3}