Uma lâmina com densidade constante rho(x, y)=rho ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia Ix e ly e os raios de giração barx e bary.
O retângulo 0

Passo 1

O enunciado diz que temos uma lâmina de densidade constante rho ocupando o retângulo 0< x<= b,;0<= y<= h. Precisamos encontrar os momentos de inércia em relação aos eixos x e y (ou seja, Ix e Iy) e os raios de giração barx e bary. Vamos usar integrais duplas para calcular Ix e Iy e a definição bark=raizI/M para os raios de giração.

Passo 2

Primeiro encontramos a massa total M da lâmina usando dm=rho,dA:
M=integral!dm=rhointegral0^bintegral0^h dy,dx=rho,b,h

Passo 3

Para o momento de inércia em torno do eixo x (que é Ix=integral y^2,dm), fazemos:
Ix=rhointegral0^bintegral0^h y^2,dy,dx =rhol[integral0^b dxr];l[integral0^h y^2,dyr] =rho,bcdoth^33 =rho,b,h^33

Passo 4

Para o momento de inércia em torno do eixo y (isto é, Iy=integral x^2,dm), temos:
Iy=rhointegral0^bintegral0^h x^2,dx,dy =rhol[integral0^h dyr];l[integral0^b x^2,dxr] =rho,hcdotb^33 =rho,h,b^33

Passo 5

Os raios de giração barx e bary são definidos por
barx=raizIxM, bary=raizIyM
Substituindo Ix, Iy e M:
barx=raiz(rho b h^3/3)(rho b h)=hraiz3, bary=raiz(rho h b^3/3)(rho b h)=braiz3

Resposta

I_x=\frac{\rho,b,h^3}{3}, \quad I_y=\frac{\rho,h,b^3}{3}, \quad \bar{x}=\frac{h}{\sqrt3}, \quad \bar{y}=\frac{b}{\sqrt3}

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