Uma lâmina fina ocupa a região triangular de vértices (0,0),(0,3) e (2, 1). Determine a massa dessa lâmina se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x.

Passo 1

A questão pede a massa de uma lâmina triangular de vértices (0,0), (0,3) e (2,1), sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância ao eixo x. O conteúdo é cálculo de integrais duplas para massa, e vamos precisar: escrever a densidade como δ(x,y)=k·y, achar as equações das arestas do triângulo e montar a integral dupla ∬_R k·y dA.

Passo 2

Para descrever a região R do triângulo, observamos que as arestas ligam (0,0)–(2,1) e (0,3)–(2,1). A reta entre (0,0) e (2,1) tem equação y=(1/2)x, e a reta entre (0,3) e (2,1) tem equação y=3−x. Logo: 0≤x≤2 e (1/2)x≤y≤3−x.

Passo 3

Escrevemos a massa como integral dupla da densidade:
M=integral duplaR δ(x,y),dA = kintegral duplaR y,dA
Agora calculamos integral duplaR y,dA montando a integral iterada em x e y:
integral duplaR y,dA = integralx=0^2 l(integraly=x2^3-x y,dyr) dx

Passo 4

Dentro, integramos em y:
integraly=x2^3-x y,dy = [y^22]y=x2^3-x = (3-x)^2 - (tfracx2)^22 = 9 -6x +x^2 - tfracx^242 = 9 -6x + tfrac34x^22
Simplificando obtemos
92 - 3x + 38x^2

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 2:
integral0^2 l(92 - 3x + 38x^2r)dx = [92x - 32x^2 + x^38]0^2 = 9 - 6 + 1 = 4
Portanto integral duplaR y,dA = 4. A massa fica M = kcdot4 = 4k.

Resposta

Se δ(x,y)=k·y, então a massa é M=4k. Se tomarmos k=1 (densidade igual a y), M=4.

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