Uma lâmina fina ocupa a região triangular de vértices
e (2, 1). Determine a massa dessa lâmina se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x.
Passo 1
A questão pede a massa de uma lâmina triangular de vértices (0,0), (0,3) e (2,1), sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância ao eixo x. O conteúdo é cálculo de integrais duplas para massa, e vamos precisar: escrever a densidade como δ(x,y)=k·y, achar as equações das arestas do triângulo e montar a integral dupla ∬_R k·y dA.
Passo 2
Para descrever a região R do triângulo, observamos que as arestas ligam (0,0)–(2,1) e (0,3)–(2,1). A reta entre (0,0) e (2,1) tem equação y=(1/2)x, e a reta entre (0,3) e (2,1) tem equação y=3−x. Logo: 0≤x≤2 e (1/2)x≤y≤3−x.
Passo 3
Escrevemos a massa como integral dupla da densidade:
Agora calculamos
Passo 4
Dentro, integramos em y:
Simplificando obtemos
Passo 5
Agora integramos em x de 0 a 2:
Portanto
Resposta
Se δ(x,y)=k·y, então a massa é M=4k. Se tomarmos k=1 (densidade igual a y), M=4.