Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y)=(y e^x+sen(y)+3 x^2, e^x+x cos (y)-2 y) e C é qualquer curva lisa ligando o ponto (0, pi) ao ponto (-1,0), nesta ordem.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha integralCFcdot d r, sendo
F(x,y)=(P,Q) com P=y e^x+sin y+3x^2 e Q=e^x+xcos y-2y, ao longo de qualquer curva lisa de (0,pi) a (-1,0). Vamos usar teoria de campos conservativos.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo conferindo se partial P/partial y=partial Q/partial x. Calculando:
partial Ppartial y=e^x+cos y,partial Qpartial x=e^x+cos y
Como coincidem num domínio simplesmente conexo ( Bbb R^2), existe potencial phi tal que nablaphi=F.

Passo 3

Para achar o potencial, integramos partialphi/partial x=P:
phi(x,y)=integral (y e^x+sin y+3x^2),dx=y e^x+xsin y+x^3+h(y),
onde h(y) é função só de y.

Passo 4

Agora igualamos partialphi/partial y a Q:
partialphipartial y=e^x+xcos y+h'(y)=e^x+xcos y-2y
Logo h'(y)=-2y e h(y)=-y^2+C. Podemos escolher C=0. Portanto:
phi(x,y)=y e^x+xsin y+x^3-y^2

Passo 5

Pelo teorema fundamental para campos conservativos, temos
integralCFcdot d r=phi(-1,0)-phi(0,pi)
Calculando:
phi(-1,0)=-1,phi(0,pi)=pi-pi^2
Então
integralCFcdot d r=(-1)-(pi-pi^2)=pi^2-pi-1

Resposta

pi^2 - pi - 1

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