Determine com auxílio de integrais de superfície a área da superfície de parte da esfera
que está acima do plano
e dentro do cilindro
. Faça um gráfico ilustrando a área da superfície.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área de uma parte específica da esfera dada pela equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $. Essa parte está acima do plano $ xy $ e dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Para resolver isso, vamos usar integrais de superfície, que são ferramentas matemáticas para calcular áreas em superfícies tridimensionais.
Passo 2
Vamos visualizar a situação. A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $ tem raio 2 e está centrada na origem. O plano $ xy $ corta a esfera no horizonte, e o cilindro $ x^{2} + y^{2} = 1 $ tem raio 1 e está alinhado ao longo do eixo $ z $. Queremos a área da parte da esfera que está acima do plano $ xy $ (ou seja, onde $ z \geq 0 $) e dentro deste cilindro.
Passo 3
Para calcular a área da superfície, vamos usar coordenadas cilíndricas, pois a simetria circular do cilindro facilita os cálculos. Em coordenadas cilíndricas, temos:
E a esfera se torna:
Então, $ z = \sqrt{4 - r^{2}} $ para a parte acima do plano $ xy $.
Passo 4
A fórmula para a área da superfície em coordenadas cilíndricas é:
Como $ z $ só depende de $ r $, a derivada parcial em relação a $ \theta $ é zero. Então, simplificamos para:
Passo 5
Calculando $ \frac{dz}{dr} $:
Então:
Passo 6
Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos resolver a integração em $ r $:
Fazendo a substituição $ u = 4 - r^{2} $, $ du = -2r , dr $. Então:
Passo 8
Agora, integraremos em $ \theta $:
Resposta
A área da superfície é $ 8\pi - 4\pi\sqrt{3} $ unidades de área.