(2,0) Determine com auxílio de integrais de superfície a área da superfície de parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está acima do plano xy e dentro do cilindro x^2+y^2=1. Faça um gráfico ilustrando a área da superfície.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área de uma parte específica da esfera dada pela equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $. Essa parte está acima do plano $ xy $ e dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Para resolver isso, vamos usar integrais de superfície, que são ferramentas matemáticas para calcular áreas em superfícies tridimensionais.

Passo 2

Vamos visualizar a situação. A esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $ tem raio 2 e está centrada na origem. O plano $ xy $ corta a esfera no horizonte, e o cilindro $ x^{2} + y^{2} = 1 $ tem raio 1 e está alinhado ao longo do eixo $ z $. Queremos a área da parte da esfera que está acima do plano $ xy $ (ou seja, onde $ z \geq 0 $) e dentro deste cilindro.

Passo 3

Para calcular a área da superfície, vamos usar coordenadas cilíndricas, pois a simetria circular do cilindro facilita os cálculos. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E a esfera se torna:
r^2 + z^2 = 4
Então, $ z = \sqrt{4 - r^{2}} $ para a parte acima do plano $ xy $.

Passo 4

A fórmula para a área da superfície em coordenadas cilíndricas é:
A = integral duplaD raiz ( partial zpartial r )^2 + ( partial zpartial theta )^2 + 1 , r , dr , dtheta
Como $ z $ só depende de $ r $, a derivada parcial em relação a $ \theta $ é zero. Então, simplificamos para:
z

Passo 5

Calculando $ \frac{dz}{dr} $:
dzdr
Então:
z = raiz4 - r^2 dzdr = -rraiz4 - r^2

Passo 6

Substituindo na integral:
A = integral0^2pi integral0^1 raiz 44 - r^2 , r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 2raiz4 - r^2 , r , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integração em $ r $:
r
Fazendo a substituição $ u = 4 - r^{2} $, $ du = -2r , dr $. Então:
integral0^1 2rraiz4 - r^2 , dr

Passo 8

Agora, integraremos em $ \theta $:
theta

Resposta

A área da superfície é $ 8\pi - 4\pi\sqrt{3} $ unidades de área.

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