Seja ym(x)=m x+b, com m neq 0, a equação de uma reta que passa pelo ponto (2,3).
Se A(m) é a área do triângulo retângulo situado no 10 quadrante, com cada um dos seus catetos apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa contém o ponto (2,3), mostre que
A(m)=-(2 m-3)^22 m, m<0

Passo 1

O enunciado pede para achar a área do triângulo formado pelos interceptos da reta y=mx+b com os eixos coordenados, sabendo que ela passa por (2,3) e que o triângulo fica no primeiro quadrante. Vamos usar conceitos de geometria analítica (interceptos de reta) e fórmula de área de triângulo.

Passo 2

Como a reta passa por (2,3), substituímos na equação y=mx+b para determinar b:
3 = mcdot2 + b
Logo,
b = 3 - 2m

Passo 3

Para achar o intercepto no eixo x, fazemos y=0 em y=mx+b:
0 = m x + (3-2m)
Portanto o valor de x é
x0 = -3-2mm = 2m-3m

Passo 4

Para o intercepto no eixo y, fazemos x=0 em y=mx+b:
y0 = b = 3 - 2m

Passo 5

Como queremos o triângulo no primeiro quadrante, exigimos interceptos positivos. Para m<0, de fato 2m-3<0 e dividir por m<0 torna x0>0, e 3-2m>0.

Passo 6

A área de um triângulo com catetos nos eixos é metade do produto dos interceptos. Logo:
A(m) = 12 cdot x0 cdot y0 = 12 cdot 2m-3m cdot (3-2m)
Observando que 3-2m=-(2m-3), temos
A(m) = 12 cdot 2m-3m cdot l(-(2m-3)r) = -(2m-3)^22m

Passo 7

Concluímos que para m<0 a área do triângulo é dada por A(m)=-dfrac(2m-3)^22m.

Resposta

A(m)=-dfrac(2m-3)^22m, m<0

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