6 Uma lâmina fina tem a forma da região
, interior à circunferência
e exterior à circunferência
. Calcule a massa da lâmina sabendo que a densidade em cada ponto é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a massa da lâmina cuja região é
- interior à circunferência
(isto é, pontos com ); - exterior à circunferência
(isto é, pontos com ).
A densidade em cada ponto é
.
Queremos calcular a massa como a integral dupla da densidade sobre a região
:
Listei acima o que é dado e o que se pede; nos próximos passos faremos a mudança de coordenadas e a integração.
Passo 2
Vou usar coordenadas polares porque a densidade depende de
e porque as fronteiras são círculos — isso simplifica muito.
Lembrete rápido sobre coordenadas polares (aula curta e prática):
- Em coordenadas polares define-se
e , com e angular. - A área elementar se transforma segundo o jacobiano:
. Aqui é o fator de escala do jacobiano. - Assim, uma integral
vira .
Agora expresso as duas curvas em coordenadas polares:
-
A circunferência centrada na origem é
, isto é (usamos ). -
A circunferência centrada em
com raio tem equação .
Desenvolvendo:
Somando
obtemos
Fatorando
:
ou seja as soluções relevantes são
(o centro) e
Portanto, a curva limite não-central corresponde a
.
Agora interpreto as desigualdades da região
:
- "Exterior à
" significa . - "Interior à
" significa, para os ângulos onde isto faz sentido, .
Para que haja pontos com
tal que
precisa-se de
, ou seja
. Isso ocorre para
. Assim o ângulo varia em
Concluímos que em coordenadas polares a região
é dada por
Passo 3
Transformo a integral de massa para coordenadas polares. A densidade é
. O elemento de área é
. Então o integrando fica
Portanto a integral simplifica muito:
(Isto mostra a vantagem da mudança: a singularidade
cancela com o jacobiano.)
Passo 4
Calculo a integral interna em
:
Passo 5
Agora integro em
:
Calculo cada parte separadamente.
Para a parte com
:
Multiplicando por
dá
.
Para a parte constante:
Subtraindo,