6 Uma lâmina fina tem a forma da região D, interior à circunferência (x-2)^{2}+y^{2}=4 \quad e exterior à circunferência x^{2}+y^{2}=4. Calcule a massa da lâmina sabendo que a densidade em cada ponto é dada por f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a massa da lâmina cuja região é
  • interior à circunferência (x-2)^{2}+y^{2}=4 (isto é, pontos com (x-2)^{2}+y^{2}\le 4);
  • exterior à circunferência x^{2}+y^{2}=4 (isto é, pontos com x^{2}+y^{2}\ge 4).
A densidade em cada ponto é f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Queremos calcular a massa como a integral dupla da densidade sobre a região D:
\text{massa}=\iint_{D} f(x,y)\,dA=\iint_{D}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA.
Listei acima o que é dado e o que se pede; nos próximos passos faremos a mudança de coordenadas e a integração.

Passo 2

Vou usar coordenadas polares porque a densidade depende de \sqrt{x^{2}+y^{2}} e porque as fronteiras são círculos — isso simplifica muito.
Lembrete rápido sobre coordenadas polares (aula curta e prática):
  • Em coordenadas polares define-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta angular.
  • A área elementar se transforma segundo o jacobiano: dA = r\,dr\,d\theta. Aqui r é o fator de escala do jacobiano.
  • Assim, uma integral \iint g(x,y)\,dA vira \iint g(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta.
Agora expresso as duas curvas em coordenadas polares:
  1. A circunferência centrada na origem é x^{2}+y^{2}=4, isto é \;r^{2}=4\Rightarrow r=2 (usamos r\ge0).
  2. A circunferência centrada em (2,0) com raio 2 tem equação (r\cos\theta-2)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=4.
    Desenvolvendo:
r^{2}\cos^{2}\theta -4r\cos\theta +4 + r^{2}\sin^{2}\theta =4.
Somando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 obtemos
r^{2} - 4r\cos\theta +4 = 4 \quad\Rightarrow\quad r^{2}-4r\cos\theta=0.
Fatorando r:
r(r-4\cos\theta)=0,
ou seja as soluções relevantes são r=0 (o centro) e
r=4\cos\theta.
Portanto, a curva limite não-central corresponde a r=4\cos\theta.
Agora interpreto as desigualdades da região D:
  • "Exterior à x^{2}+y^{2}=4" significa r\ge2.
  • "Interior à (x-2)^{2}+y^{2}=4" significa, para os ângulos onde isto faz sentido, r\le 4\cos\theta.
Para que haja pontos com r tal que 2\le r\le 4\cos\theta precisa-se de 4\cos\theta\ge 2, ou seja \cos\theta\ge \tfrac{1}{2}. Isso ocorre para |\theta|\le \tfrac{\pi}{3}. Assim o ângulo varia em
-\frac{\pi}{3}\le \theta \le \frac{\pi}{3}.
Concluímos que em coordenadas polares a região D é dada por
\{(r,\theta):\\\ -\tfrac{\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{\pi}{3},\quad 2\le r\le 4\cos\theta\}.

Passo 3

Transformo a integral de massa para coordenadas polares. A densidade é f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\dfrac{1}{r}. O elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Então o integrando fica
\frac{1}{r}\cdot r = 1.
Portanto a integral simplifica muito:
\text{massa}=\int_{\theta=-\pi/3}^{\pi/3}\int_{r=2}^{4\cos\theta} 1 \,dr\,d\theta.
(Isto mostra a vantagem da mudança: a singularidade 1/r cancela com o jacobiano.)

Passo 4

Calculo a integral interna em r:
\int_{r=2}^{4\cos\theta} 1\,dr = \bigl[ r\bigr]_{2}^{4\cos\theta} = 4\cos\theta - 2.

Passo 5

Agora integro em \theta:
\text{massa}=\int_{-\pi/3}^{\pi/3} (4\cos\theta - 2)\,d\theta =4\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta \;-\; 2\int_{-\pi/3}^{\pi/3} d\theta.
Calculo cada parte separadamente.
Para a parte com \cos:
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{-\pi/3}^{\pi/3} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)-\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{3}.
Multiplicando por 4 4\sqrt{3}.
Para a parte constante:
2\int_{-\pi/3}^{\pi/3} d\theta = 2\cdot\left(\frac{\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) =2\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}.
Subtraindo,
\text{massa}=4\sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}.

Resposta

4\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}

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