Questão 6) Calcule as integrais duplas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas e úteis:
- Os limites são
e . - A função integranda é
. - O domínio de integração é o retângulo
. - A integranda é contínua em
, o que permite calcular a integral iterada integrando primeiro em e depois em .
Passo 2
Vamos integrar primeiro em
(a integral interna). Uso a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes em relação à variável de integração podem ser fatoradas. Escrevo a integral interna:
Agora fatoro os termos que não dependem de
:
Portanto a integral interna vale
Passo 3
Agora integro o resultado em
sobre
:
Explicando propriedades que facilitam:
é função ímpar (
), então a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
é zero. Assim
Para a segunda integral,
é par (
), mas calculamos diretamente:
Multiplicando por
obtemos
.
Passo 4
Somando os resultados das duas parcelas:
Portanto o valor da integral dupla é
. Um comentário prático: aqui
é o seno de
radiano; numericamente
se precisar de aproximação.