Questão 6) Calcule as integrais duplas abaixo:
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} \operatorname{sen}(x)+y \cos (x) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(x)+y\cos(x)\,dy\,dx.
Informações dadas e úteis:
  • Os limites são x\in[-1,1] e y\in[0,1].
  • A função integranda é \operatorname{sen}(x)+y\cos(x).
  • O domínio de integração é o retângulo R=\{(x,y)\mid -1\le x\le1,\\\ 0\le y\le1\}.
  • A integranda é contínua em R, o que permite calcular a integral iterada integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Vamos integrar primeiro em y (a integral interna). Uso a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes em relação à variável de integração podem ser fatoradas. Escrevo a integral interna:
\int_{0}^{1}\big(\operatorname{sen}(x)+y\cos(x)\big)\,dy = \int_{0}^{1}\operatorname{sen}(x)\,dy+\int_{0}^{1}y\cos(x)\,dy.
Agora fatoro os termos que não dependem de y:
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(x)\,dy=\operatorname{sen}(x)\int_{0}^{1}dy=\operatorname{sen}(x)\cdot 1=\operatorname{sen}(x),
\int_{0}^{1}y\cos(x)\,dy=\cos(x)\int_{0}^{1}y\,dy=\cos(x)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cos(x).
Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{1}\big(\operatorname{sen}(x)+y\cos(x)\big)\,dy=\operatorname{sen}(x)+\frac{1}{2}\cos(x).

Passo 3

Agora integro o resultado em x sobre [-1,1]:
\int_{-1}^{1}\left(\operatorname{sen}(x)+\frac{1}{2}\cos(x)\right)\,dx = \int_{-1}^{1}\operatorname{sen}(x)\,dx+\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\cos(x)\,dx.
Explicando propriedades que facilitam: \operatorname{sen}(x) é função ímpar ( \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}(x)), então a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico [-a,a] é zero. Assim
\int_{-1}^{1}\operatorname{sen}(x)\,dx=0.
Para a segunda integral, \cos(x) é par ( \cos(-x)=\cos(x)), mas calculamos diretamente:
\int_{-1}^{1}\cos(x)\,dx=\big[\operatorname{sen}(x)\big]_{-1}^{1}=\operatorname{sen}(1)-\operatorname{sen}(-1)=\operatorname{sen}(1)+\operatorname{sen}(1)=2\operatorname{sen}(1).
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos \tfrac{1}{2}\cdot 2\operatorname{sen}(1)=\operatorname{sen}(1).

Passo 4

Somando os resultados das duas parcelas:
0+\operatorname{sen}(1)=\operatorname{sen}(1).
Portanto o valor da integral dupla é \operatorname{sen}(1). Um comentário prático: aqui \operatorname{sen}(1) é o seno de 1 radiano; numericamente \operatorname{sen}(1)\approx0{,}84147 se precisar de aproximação.

Resposta

\operatorname{sen}(1)

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