Uma lâmina ocupa a parte do disco x^2+y^2 <= 1 no primeiro quadrante.
Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lâmina que ocupa a parte do disco definido por x^2 + y^2 <= 1 no primeiro quadrante. Queremos encontrar o centro de massa dessa lâmina, sabendo que a densidade em qualquer ponto é proporcional ao quadrado da distância desse ponto à origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de centros de massa e integração em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a densidade da lâmina. Como a densidade é proporcional ao quadrado da distância ao origem, podemos escrever:
rho(x, y) = k (x^2 + y^2)
onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

O centro de massa (barx, bary) é dado pelas fórmulas:
barx = integral duplalimitsD x rho(x, y) , dAintegral duplalimitsD rho(x, y) , dA
bary = integral duplalimitsD y rho(x, y) , dAintegral duplalimitsD rho(x, y) , dA
onde D é a região do primeiro quadrante do disco.

Passo 4

Vamos calcular a massa total M da lâmina, que é o denominador das expressões do centro de massa:
M = integral duplalimitsD rho(x, y) , dA = k integral duplalimitsD (x^2 + y^2) , dA
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta, e dA = r , dr , dtheta.

Passo 5

Em coordenadas polares, a região D no primeiro quadrante vai de theta = 0 a theta = pi2 e de r = 0 a r = 1. Então, a massa total fica:
M = k integral0^pi2 integral0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta = k integral0^pi2 integral0^1 r^3 , dr , dtheta
Integrando em relação a r:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Então,
M = k integral0^pi2 14 , dtheta = k cdot 14 cdot pi2 = kpi8

Passo 6

Agora, vamos calcular barx. Usando coordenadas polares:
barx = k integral duplalimitsD x (x^2 + y^2) , dA M = k integral0^pi2 integral0^1 (r costheta) cdot r^2 cdot r , dr , dtheta kpi8 = k integral0^pi2 integral0^1 r^4 costheta , dr , dtheta kpi8
Integrando em relação a r:
integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15
Então,
barx = k cdot 15 integral0^pi2 costheta , dtheta kpi8 = k5 cdot [ sintheta ]0^pi2 kpi8 = k5 cdot 1 kpi8 = 85pi

Passo 7

De maneira similar, vamos calcular bary:
bary = k integral duplalimitsD y (x^2 + y^2) , dA M = k integral0^pi2 integral0^1 (r sintheta) cdot r^2 cdot r , dr , dtheta kpi8 = k integral0^pi2 integral0^1 r^4 sintheta , dr , dtheta kpi8
Integrando em relação a r:
integral0^1 r^4 , dr = 15
Então,
bary = k5 integral0^pi2 sintheta , dtheta kpi8 = k5 cdot [ -costheta ]0^pi2 kpi8 = k5 cdot ( -0 + 1 ) kpi8 = 85pi

Resposta

O centro de massa da lâmina está no ponto ( dfrac85pi, dfrac85pi ).

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