Uma lâmina ocupa a parte do disco
no primeiro quadrante.
Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.
Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lâmina que ocupa a parte do disco definido por
no primeiro quadrante. Queremos encontrar o centro de massa dessa lâmina, sabendo que a densidade em qualquer ponto é proporcional ao quadrado da distância desse ponto à origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de centros de massa e integração em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a densidade da lâmina. Como a densidade é proporcional ao quadrado da distância ao origem, podemos escrever:
onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
O centro de massa
é dado pelas fórmulas:
onde
é a região do primeiro quadrante do disco.
Passo 4
Vamos calcular a massa total
da lâmina, que é o denominador das expressões do centro de massa:
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde
e
, e
.
Passo 5
Em coordenadas polares, a região
no primeiro quadrante vai de
a
e de
a
. Então, a massa total fica:
Integrando em relação a
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Usando coordenadas polares:
Integrando em relação a
:
Então,
Passo 7
De maneira similar, vamos calcular
:
Integrando em relação a
:
Então,
Resposta
O centro de massa da lâmina está no ponto
.