Questão 5. Determine os pontos e valores de máximo e mínimo absolutos da função f(x, y)=4 x+6 y-x^2-y^2 na região retangular D=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 4 e 0 <= y <= 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos onde a função $ f(x, y) = 4x + 6y - x^{2} - y^{2} $ atinge seus valores máximos e mínimos absolutos dentro de uma região retangular definida por $ 0 \leq x \leq 4 $ e $ 0 \leq y \leq 5 $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente encontrar extremos de funções de duas variáveis em uma região delimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Vamos começar calculando essas derivadas.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
x
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas derivadas são iguais a zero:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} = 0 $:
partial fpartial x = 0
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 $:
4 - 2x = 0 Rightarrow x = 2
Portanto, o ponto crítico é $ (2, 3) $.

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar se esse ponto está dentro da região retangular dada. Como $ 0 \leq x \leq 4 $ e $ 0 \leq y \leq 5 $, o ponto $ (2, 3) $ está dentro dessa região.
Agora, vamos avaliar a função nesse ponto:
0 <= x <= 4

Passo 5

Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função nas fronteiras da região retangular para garantir que estamos encontrando os extremos absolutos.
Vamos analisar as quatro bordas:
  1. Borda onde $ x = 0 $:
x = 0
Para encontrar os extremos dessa função em $ 0 \leq y \leq 5 $, derivamos em relação a $ y $:
f(0, y) = 0 + 6y - 0 - y^2 = 6y - y^2
Igualando a zero:
0 <= y <= 5
Então, $ f(0, 3) = 0 + 18 - 0 - 9 = 9 $
  1. Borda onde $ x = 4 $:
y
Mesma derivada:
dfdy = 6 - 2y
Igualando a zero:
6 - 2y = 0 Rightarrow y = 3
Então, $ f(4, 3) = 16 + 18 - 16 - 9 = 9 $
  1. Borda onde $ y = 0 $:
f(0, 3) = 0 + 18 - 0 - 9 = 9
Derivando em relação a $ x $:
x = 4
Igualando a zero:
f(4, y) = 16 + 6y - 16 - y^2 = 6y - y^2
Então, $ f(2, 0) = 8 + 0 - 4 - 0 = 4 $
  1. Borda onde $ y = 5 $:
dfdy = 6 - 2y
Derivando em relação a $ x $:
y = 3
Igualando a zero:
f(4, 3) = 16 + 18 - 16 - 9 = 9
Então, ( f(2, 5) = 8 + 30 - 4 - 25 = 9 ]

Passo 6

Por último, vamos comparar todos os valores que encontramos:
  • No ponto interno $ (2, 3) $: $ f = 13 $
  • Nas bordas:
    • $ (0, 3) $: $ f = 9 $
    • $ (4, 3) $: $ f = 9 $
    • $ (2, 0) $: $ f = 4 $
    • $ (2, 5) $: $ f = 9 $

Resposta

O valor máximo absoluto da função é $ 13 $ no ponto $ (2, 3) $ e o valor mínimo absoluto é $ 4 $ no ponto $ (2, 0) $.

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