Questão 5. Determine os pontos e valores de máximo e mínimo absolutos da função
na região retangular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos onde a função $ f(x, y) = 4x + 6y - x^{2} - y^{2} $ atinge seus valores máximos e mínimos absolutos dentro de uma região retangular definida por $ 0 \leq x \leq 4 $ e $ 0 \leq y \leq 5 $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente encontrar extremos de funções de duas variáveis em uma região delimitada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Vamos começar calculando essas derivadas.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas derivadas são iguais a zero:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} = 0 $:
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 $:
Portanto, o ponto crítico é $ (2, 3) $.
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar se esse ponto está dentro da região retangular dada. Como $ 0 \leq x \leq 4 $ e $ 0 \leq y \leq 5 $, o ponto $ (2, 3) $ está dentro dessa região.
Agora, vamos avaliar a função nesse ponto:
Passo 5
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os valores da função nas fronteiras da região retangular para garantir que estamos encontrando os extremos absolutos.
Vamos analisar as quatro bordas:
- Borda onde $ x = 0 $:
Para encontrar os extremos dessa função em $ 0 \leq y \leq 5 $, derivamos em relação a $ y $:
Igualando a zero:
Então, $ f(0, 3) = 0 + 18 - 0 - 9 = 9 $
- Borda onde $ x = 4 $:
Mesma derivada:
Igualando a zero:
Então, $ f(4, 3) = 16 + 18 - 16 - 9 = 9 $
- Borda onde $ y = 0 $:
Derivando em relação a $ x $:
Igualando a zero:
Então, $ f(2, 0) = 8 + 0 - 4 - 0 = 4 $
- Borda onde $ y = 5 $:
Derivando em relação a $ x $:
Igualando a zero:
Então, ( f(2, 5) = 8 + 30 - 4 - 25 = 9 ]
Passo 6
Por último, vamos comparar todos os valores que encontramos:
- No ponto interno $ (2, 3) $: $ f = 13 $
- Nas bordas:
- $ (0, 3) $: $ f = 9 $
- $ (4, 3) $: $ f = 9 $
- $ (2, 0) $: $ f = 4 $
- $ (2, 5) $: $ f = 9 $
Resposta
O valor máximo absoluto da função é $ 13 $ no ponto $ (2, 3) $ e o valor mínimo absoluto é $ 4 $ no ponto $ (2, 0) $.