Sejam f(x)=x^2-8 x+17 e g(x)=x-1.
Determine a área da região limitada pelas funções f e g e pela reta x=2.

Passo 1

O problema nos dá as funções f(x)=x^2-8x+17, g(x)=x-1 e a reta x=2, e pede a área da região limitada por essas curvas. O conteúdo aqui é cálculo de área entre duas curvas, para o que vamos precisar saber onde elas se intersectam, qual fica em cima em cada intervalo e depois montar uma integral da diferença.

Passo 2

Para encontrar os pontos onde f e g se encontram, resolvemos
f(x)=g(x)implies x^2-8x+17 = x-1implies x^2-9x+18=0
As raízes são
x=9pmraiz81-722=9pm32,
isto é, x=3 e x=6.

Passo 3

Precisamos ver qual curva fica acima de g(x) entre x=2 e o primeiro ponto de interseção x=3. Avaliando em x=2: f(2)=4-16+17=5 e g(2)=1, logo f(2)>g(2). Como entre 2 e 3 não há outra interseção, em todo esse intervalo f(x) está acima de g(x).

Passo 4

A área pedida é dada pela integral da diferença entre a função superior e a inferior, de x=2 até x=3:
A=integral2^3l(f(x)-g(x)r),dx=integral2^3l(x^2-8x+17 - (x-1)r)dx=integral2^3(x^2-9x+18),dx

Passo 5

Agora calculamos a integral:
integral(x^2-9x+18)dx=x^33-9x^22+18x
Avaliaremos de 2 a 3:
l[tfracx^33-tfrac9x^22+18xr]2^3 = l(9 - tfrac812 +54r) - l(tfrac83 -18 +36r)
Fazendo as contas em forma exata dá
452 - 623 = 135 - 1246 = 116

Passo 6

Portanto, a área da região limitada por f, g e pela reta x=2 é tfrac116.

Resposta

tfrac116

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