Uma lâmina de prata tem espessura igual a 1,00 \mathrm{~mm}, largura igual a 1,50 \mathrm{~cm} \mathrm{e} corrente igual a 2,50 \mathrm{~A}, em uma região onde há um campo magnético de magnitude igual a 1,25 \mathrm{~T} perpendicular a lâmina. A tensão Hall é medida e vale 0,334 \mu \mathrm{~V}. (a) Calcule a densidade do número de portadores de carga. (b) Calcule a densidade do número de átomos de prata, que tem densidade \rho=10,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e massa molar \mathrm{Mag}^{-} 107,9 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina de prata com espessura t=1{,}00\;\mathrm{mm}, largura w=1{,}50\;\mathrm{cm} e corrente elétrica I=2{,}50\;\mathrm{A}. Ela está imersa em um campo magnético uniforme de módulo B=1{,}25\;\mathrm{T}, perpendicular à lâmina, e mede-se a tensão de Hall V_H=0{,}334\;\mu\mathrm{V}. O conteúdo é o efeito Hall em metais, e vamos usar a relação entre V_H, B, I, espessura t, carga elementar q e densidade de portadores n.

Passo 2

Pela teoria do efeito Hall, a tensão de Hall satisfaz
V_H = \frac{B\,I}{n\,q\,t}
onde q=1{,}60\times10^{-19}\;\mathrm{C} é a carga do elétron e t é a espessura ao longo da qual a diferença de potencial aparece. Dessa expressão isolamos n:
n = \frac{B\,I}{q\,t\,V_H}.

Passo 3

Substituindo valores em unidades SI t=1{,}00\times10^{-3}\;\mathrm{m}, V_H=0{,}334\times10^{-6}\;\mathrm{V}:
n = \frac{(1{,}25)(2{,}50)}{(1{,}60\times10^{-19})(1{,}00\times10^{-3})(0{,}334\times10^{-6})} \approx 5{,}85\times10^{28}\;\mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Para a densidade de átomos de prata usamos a densidade macroscópica \rho=10{,}5\;\mathrm{g/cm^3}=1,05\times10^{4}\;\mathrm{kg/m^3} e a massa molar M=107{,}9\;\mathrm{g/mol}=0,1079\;\mathrm{kg/mol}. O número de mols por volume é \rho/M e, multiplicando pelo número de Avogadro N_A=6,022\times10^{23}\;\mathrm{mol^{-1}}, tem-se
n_{\text{átomos}} = \frac{\rho}{M}\,N_A = \frac{1{,}05\times10^{4}}{0{,}1079}\times6{,}022\times10^{23} \approx 5{,}87\times10^{28}\;\mathrm{m^{-3}}.á

Resposta

(a) \displaystyle n\approx5,85\times10^{28}\;\mathrm{m^{-3}}
(b) \displaystyle n_{\text{átomos}}\approx5,87\times10^{28}\;\mathrm{m^{-3}}á

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