Um anel circular de raio R , massa m e corrente I está em uma superficie horizontal. Há um campo magnético horizontal \vec{B}. Qual o valor máximo da corrente I antes que um dos lados do anel decole da superfície?

Passo 1

O enunciado dá um anel de raio R, massa m e corrente I, apoiado em superfície horizontal, imerso em campo magnético horizontal \vec B. Pede o valor crítico de I para que comece a decolar um ponto do anel. Vamos usar a distribuição de forças verticais sobre um elemento de arco do anel e exigir que a reação normal se anule no ponto de maior elevação.

Passo 2

Considere um elemento de arco de ângulo \d\varphi. Seu peso é distribuído uniformemente, de modo que a força peso sobre esse trecho vale
\d F_{g}=\frac{m g}{2\pi R}\,\dl
onde \dl=R\,\d\varphi. Logo
\d F_{g} =\frac{m g}{2\pi R}\,R\,\d\varphi =\frac{m g}{2\pi}\,\d\varphi.

Passo 3

O elemento também sofre força magnética \d\vec F = I\,\dl\times\vec B. Se escolhermos \vec B na direção x e o anel no plano xy, a componente vertical (no eixo z) é
\d F_{z} =I\,B\,R\cos\varphi\,\d\varphi
com sinal positivo se apontar para cima (note que muda de sinal conforme \cos\varphi).

Passo 4

A reação normal \d N(\varphi) em cada elemento equilibra peso e força magnética vertical:
\d N(\varphi) =\bigl(\d F_{g}-\d F_{z}\bigr) =\Bigl(\frac{m g}{2\pi}-I\,B\,R\cos\varphi\Bigr)\d\varphi.
Ela atinge mínimo quando \cos\varphi=-1, ou seja no ponto \varphi=\pi, onde a força magnética aponta para cima e pesa mais contra a superfície.

Passo 5

Impondo que essa reação mínima se anule em \varphi=\pi, temos
\frac{m g}{2\pi}-I_{\rm cr}\,B\,R=0 \quad\Longrightarrow\quad I_{\rm cr}=\frac{m g}{2\pi\,B\,R}.

Resposta

I_{\max}=\frac{m g}{2\pi\,B\,R}.

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