Usando indução, prove:
1+2+\cdots+n=n(n+1) / 2;

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
1 + 2 + \cdots + n \;=\; \frac{n(n+1)}{2}.
Para isso, vamos seguir os dois pilares da indução: verificar o caso base e depois fazer o passo indutivo.

Passo 2

(Caso base) Para n=1, a soma dos primeiros 1 números naturais é 1
e a fórmula dá
\frac{1\cdot(1+1)}{2} \;=\; \frac{2}{2} \;=\; 1.
Logo, a igualdade vale para n=1.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para um certo k\in\mathbb{N} a fórmula seja verdadeira, ou seja,
1 + 2 + \cdots + k \;=\; \frac{k(k+1)}{2}.

Passo 4

(Passo indutivo) Devemos mostrar que a igualdade vale também para n=k+1. Começamos com a soma até k+1:
1 + 2 + \cdots + k + (k+1).
Pelo que assumimos na hipótese de indução,
1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2},
então
1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}.
Isso mostra exatamente que a fórmula vale para n=k+1.

Passo 5

Como o caso base n=1 está certo e o passo indutivo de k para k+1 também, pelo princípio da indução matemática a igualdade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N} temos
1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}.

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