Usando indução, prove:
;
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
Para isso, vamos seguir os dois pilares da indução: verificar o caso base e depois fazer o passo indutivo.
Passo 2
(Caso base) Para
, a soma dos primeiros
números naturais é
e a fórmula dá
e a fórmula dá
Logo, a igualdade vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que para um certo
a fórmula seja verdadeira, ou seja,
Passo 4
(Passo indutivo) Devemos mostrar que a igualdade vale também para
. Começamos com a soma até
:
Pelo que assumimos na hipótese de indução,
então
Isso mostra exatamente que a fórmula vale para
.
Passo 5
Como o caso base
está certo e o passo indutivo de
para
também, pelo princípio da indução matemática a igualdade vale para todo
.
Resposta
Para todo
temos