Uma lâmpada doméstica é um radiador de corpo negro. Muitas lâmpadas usam filamentos de tungstênio, aquecidos por uma corrente elétrica. Qual temperatura seria necessária para que \lambda_{\max }=550 \mathrm{~nm} ? Comente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a temperatura necessária para que o máximo da emissão de um corpo negro ocorra em \lambda_{\max}=550\\ \mathrm{nm}.
  • Fazer um comentário sobre esse resultado (ou seja, se é plausível para um filamento de tungsténio e o que isso implica).
Informações dadas:
  • \lambda_{\max}=550\\ \mathrm{nm} (comprimento de onda do pico de emissão).

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática e sem jargões):
  • Um corpo negro é um emissor ideal que emite radiação térmica com uma distribuição de energia que depende só da sua temperatura.
  • A posição do máximo dessa distribuição (o comprimento de onda onde a intensidade é maior) é dada pela Lei de Deslocamento de Wien. Essa lei relaciona diretamente o comprimento de onda do pico \lambda_{\max} com a temperatura absoluta T.
  • A Lei de Wien é uma fórmula simples e direta que podemos usar na prova sem derivar todo o espectro de Planck: ela diz que quanto mais quente o corpo, menor é o comprimento de onda onde a emissão é máxima (ou seja, o pico desloca-se para o azul).

Passo 3

Apresentando a fórmula que vamos usar (e explicando cada termo):
\lambda_{\max} \, T = b
onde:
  • \lambda_{\max} é o comprimento de onda no qual a emissão é máxima (em metros, \mathrm{m}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}),
  • b é a constante de deslocamento de Wien, numericamente aproximadamente b \approx 2,8977719\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Para usar a fórmula devemos colocar \lambda_{\max} em metros. Converter:
\lambda_{\max}=550\\ \mathrm{nm}=5,5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Isolando T e calculando (passo a passo, com unidades):
T=\frac{b}{\lambda_{\max}}.
Substituindo os valores:
T=\frac{2,8977719\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}}{5,5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}}.
Agora fazemos a divisão numérica:
\frac{2,8977719\times10^{-3}}{5,5\times10^{-7}} = \left(\frac{2,8977719}{5,5}\right)\times10^{4}.
Calcule a razão \dfrac{2,8977719}{5,5}\approx0,5269, então
T\approx0,5269\times10^{4}\\ \mathrm{K}=5,269\times10^{3}\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma prática para a prova:
T\approx5,27\times10^{3}\\ \mathrm{K}\quad(\text{ou }\;5269\\ \mathrm{K}\text{, aproximadamente}).

Passo 5

Comentário interpretativo e comparação com tungsténio (explicação para a prova):
  • O valor obtido, T\approx5,27\times10^{3}\\ \mathrm{K}, é uma temperatura muito elevada. Para referência, a superfície do Sol tem temperatura efetiva cerca de T_{\odot}\approx5,78\times10^{3}\\ \mathrm{K} e tem pico de emissão no verde-azulado — por isso a luz solar é intensa no visível.
  • O tungsténio tem ponto de fusão em torno de T_{\text{fus,W}}\approx3695\\ \mathrm{K} (aproximadamente 3422^\circ\mathrm{C}). Filamentos de lâmpadas incandescentes típicos operam em cerca de T\sim2500\text{ a }3000\\ \mathrm{K}.
  • Conclusão: para que o pico da emissão caia exatamente em 550\\ \mathrm{nm} seria necessário aquecer o filamento a cerca de 5269\\ \mathrm{K}, que é bem superior ao ponto de fusão do tungsténio. Portanto, não é possível (na prática) ter um filamento sólido de tungsténio com \lambda_{\max}=550\\ \mathrm{nm} — o filamento derreteria. Na prática, lâmpadas incandescentes têm pico de emissão no infravermelho e apenas uma fração da energia é emitida no visível; por isso são ineficientes em termos de luz visível por potência elétrica consumida.
  • Observação final útil para a prova: se quiser uma fonte com pico em 550\\ \mathrm{nm} usa-se um corpo negro muito mais quente (como a superfície solar) ou fontes não térmicas/filmes especiais, não um filamento de tungsténio sólido.

Resposta

T\approx5,27\times10^{3}\\ \mathrm{K}
Impraticável para um filamento de tungsténio: é bem maior que o ponto de fusão do tungsténio ( \approx3695\\ \mathrm{K}), logo um filamento sólido derreteria.

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