Com relação aos elétrons nas camadas, subníveis e orbitais de um átomo, quantos podem ter:
n=4, \ell=2, m_{\ell}=1 e m_{s}=+1 / 2

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantos elétrons podem ter, em um átomo, os quatro números quânticos dados simultaneamente:
n=4,\qquad \ell=2,\qquad m_{\ell}=1,\qquad m_{s}=+1/2.
Vou listar claramente as informações relevantes fornecidas:
  • Número quântico principal: \,n=4\,.
  • Número quântico azimutal (subnível): \,\ell=2\,.
  • Número quântico magnético (orbital específico): \,m_{\ell}=1\,.
  • Número quântico de spin: \,m_{s}=+1/2\,.

Passo 2

O que significa cada número quântico (parte 1 — ideia básica do \,n\, e \,\ell\,):
  • O número quântico principal \,n\, indica a camada/nível de energia principal. É um inteiro positivo: \,n=1,2,3,\dots. Aqui \,n=4\, é perfeitamente válido.
  • O número quântico azimutal \,\ell\, determina o subnível (tipo de orbital) e deve satisfazer
\ell = 0,1,2,\dots,n-1.
No caso \,n=4\, os valores possíveis de \ell são 0,1,2,3. Portanto \,\ell=2\, é permitido quando n=4.

Passo 3

Interpretação física de \ell=2:
  • Para lembrar: \ell=0 é subnível s, \ell=1 é p, \ell=2 é d, \ell=3 é f.
  • Logo \,\ell=2\, significa que estamos falando de um orbital do tipo d na camada n=4 (um orbital do subnível 4d).

Passo 4

O que faz o número quântico magnético \,m_{\ell}:
  • Para um dado \ell, o m_{\ell} pode assumir os valores inteiros
m_{\ell} = -\ell, -\ell+1, \dots, 0, \dots, \ell-1, \ell.
  • Para \ell=2 os valores possíveis são m_{\ell}=-2,-1,0,1,2. Cada valor de m_{\ell} identifica um orbital espacial distinto dentro do subnível d.
  • Então m_{\ell}=1 é um dos cinco orbitais d. Em outras palavras, o orbital considerado é o orbital (n,\ell,m_{\ell})=(4,2,1).

Passo 5

Significado do número quântico de spin \,m_{s}:
  • O spin do elétron só pode assumir dois valores:
m_{s}=+\tfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad m_{s}=-\tfrac{1}{2}.
  • Esse número identifica a orientação do spin do elétron dentro do orbital. Aqui foi dado \,m_{s}=+1/2\,.

Passo 6

Como se relacionam orbital e ocupação (regra prática):
  • Um orbital (isto é, um conjunto (n,\ell,m_{\ell}) fixo) descreve uma região do espaço onde os elétrons se encontram. Cada orbital pode comportar no máximo dois elétrons — e esses dois necessariamente têm spins opostos, ou seja, um com m_{s}=+\tfrac{1}{2} e outro com m_{s}=-\tfrac{1}{2}.
  • Essa limitação vem da estatística eletrônica e da chamada princípio de exclusão de Pauli, que em linguagem simples diz: não pode haver dois elétrons no mesmo átomo com os quatro números quânticos iguais.

Passo 7

Aplicando isso ao caso dado:
  • O orbital está fixo por (n,\ell,m_{\ell})=(4,2,1). Esse orbital individual pode conter no máximo dois elétrons, mas esses dois têm spins distintos.
  • Se além de fixar o orbital também fixamos o spin como m_{s}=+\tfrac{1}{2}, estamos especificando exatamente qual dos dois possíveis estados de spin dentro desse orbital queremos. Logo, apenas um elétron nesse orbital pode ter m_{s}=+\tfrac{1}{2} (o outro, se presente, teria m_{s}=-\tfrac{1}{2}).

Passo 8

Observações extras e exemplos rápidos para fixar:
  • Se a pergunta não tivesse especificado m_{s} e pedisse “quantos elétrons podem ter n=4,\ell=2,m_{\ell}=1?” a resposta seria “até dois”, porque ambos os spins podem ocupar o mesmo orbital.
  • Se pedir “quantos elétrons podem ter n=4,\ell=2,m_{\ell}=1,m_{s}=+1/2?” (como aqui), então dentre os possíveis ocupantes do orbital há apenas um estado com esse spin específico.

Passo 9

Dica prática para prova (como lembrar rápido):
  • Pense em três níveis: (1) (n,\ell) define subnível; (2) m_{\ell} escolhe o orbital dentro do subnível; (3) m_{s} escolhe qual dos dois elétrons daquele orbital. Se todos os quatro números são fixos, você especificou um único estado possível por átomo — portanto só cabe um elétron naquele estado (e, se quiser, o mesmo orbital poderia ainda ter outro elétron com o spin oposto).

Resposta

\,1\\ \text{elétron}é

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