Uma lâmpada está situada a 100 cm de distància de uma parede, sobre a qual deseja-se projetar uma imagem da lâmpada, usando-se uma lente de distância focal igual a 22 cm . Determine a que distanncia da parede deve ser colocada a lente para se obter uma imagem nitida e ampliada da lampada.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem uma lâmpada (o objeto) a 100 cm de distância da parede, e quer projetar a imagem dela na parede usando uma lente de distância focal 1f ;=;1so ;+;1si cm. Nosso objetivo é descobrir a que distância da parede (isto é, o chamado , a distância imagem) a lente deve ficar para formar uma imagem nítida e ampliada na parede.
Matéria envolvida: Óptica geométrica, lente fina e fórmula de Gauss para lentes. Vamos precisar da fórmula da lente fina
e também da relação geométrica de que cm, porque o objeto e a imagem estão a 100 cm um do outro.

Passo 2

Em lentes finas, definimos:
  • so + si = 100 Longrightarrow so = 100 - si = distância do objeto (lâmpada) até a lente,
  • 1f = 1so + 1si = distância da lente até a imagem (a parede).
Como o objeto e a parede distam 100 cm, vale
122 ;=; 1100 - si ;+; 1si
A fórmula da lente é
Substituímos e :

Passo 3

Agora a treta é resolver essa equação para 122 = si + (100 - si)si,(100 - si) = 100si,(100 - si) . Vamos somar as frações no lado direito:
si,(100 - si) = 22 times 100 = 2200
Multiplicando em cruz:
100,si - si^2 = 2200 Longrightarrow si^2 - 100,si + 2200 = 0
Isso vira uma quadrática:

Passo 4

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, com De, si = 100 pm raiz12002 = 100 pm 20raiz32 = 50 pm 10raiz3 , si approx 50 pm 17,32 ;Longrightarrow; si1 approx 67,32 cm, si2 approx 32,68 cm :
Numericamente, , então:

Passo 5

São duas posições possíveis da lente. Pra ver qual dá imagem ampliada, usamos a ampliação . Lembrando que :
  • Se , então e (ampliação!).
  • Se , então e (reduzida).
Como o exercício quer a imagem ampliada, escolhemos cm.

Resposta

A lente deve ficar a aproximadamente 67,3 cm da parede para projetar na parede uma imagem nítida e ampliada da lâmpada.

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