e*7 Uma lâmpada ultravioleta emite luz com um comprimento de onda de 400 nm , com uma potência de 400 W . Uma lâmpada infravermelha emite luz com um comprimento de onda de 700 nm , também com uma potência de 400 W. (a) Qual das duas lâmpadas emite mais fótons por segundo? (b) Quantos fótons por segundo essa lâmpada emite?

Passo 1

O enunciado dá duas lâmpadas com a mesma potência e pede duas coisas:
  • (a) Qual das lâmpadas emite mais fótons por segundo?
  • (b) Quantos fótons por segundo essa lâmpada emite?
Informações fornecidas:
  • Lâmpada ultravioleta: comprimento de onda \lambda_{\text{UV}} = 400\\ \text{nm} e potência P_{\text{UV}} = 400\\ \text{W}.
  • Lâmpada infravermelha: comprimento de onda \lambda_{\text{IR}} = 700\\ \text{nm} e potência P_{\text{IR}} = 400\\ \text{W}.
Observação: ambas têm a mesma potência 400\\ \text{W}. A resolução começa agora.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: cada fóton tem energia dada pela relação de Planck:
E = \frac{hc}{\lambda},
onde:
  • E é a energia de um fóton (em joules),
  • h é a constante de Planck, h = 6,626\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s},
  • c é a velocidade da luz no vácuo, c = 3,00\times10^{8}\\ \text{m/s},
  • \lambda é o comprimento de onda em metros.
Justificativa curta e intuitiva: potência é energia por segundo; se cada fóton tem energia E, o número de fótons por segundo (taxa) é a potência dividida por E:
N = \frac{P}{E}.

Passo 3

Primeiro convertemos os comprimentos de onda de nanômetros para metros:
\lambda_{\text{UV}} = 400\\ \text{nm} = 400\times10^{-9}\\ \text{m} = 4{,}00\times10^{-7}\\ \text{m},
\lambda_{\text{IR}} = 700\\ \text{nm} = 700\times10^{-9}\\ \text{m} = 7{,}00\times10^{-7}\\ \text{m}.

Passo 4

Calculamos o produto hc (é útil calcular uma vez só):
hc = (6{,}626\times10^{-34})(3{,}00\times10^{8}) = 1{,}9878\times10^{-25}\\ \text{J}\cdot\text{m}.

Passo 5

Energia de um fóton para \lambda_{\text{UV}} = 4{,}00\times10^{-7}\\ \text{m}:
E_{\text{UV}} = \frac{hc}{\lambda_{\text{UV}}} = \frac{1{,}9878\times10^{-25}}{4{,}00\times10^{-7}}.
Agora dividimos:
E_{\text{UV}} = 4{,}9695\times10^{-19}\\ \text{J}.
Explicando a conta: dividir por 4{,}00\times10^{-7} é o mesmo que multiplicar por 2{,}5\times10^{6}; o resultado numérico fica 4{,}9695\times10^{-19}\,\text{J}.

Passo 6

Energia de um fóton para \lambda_{\text{IR}} = 7{,}00\times10^{-7}\\ \text{m}:
E_{\text{IR}} = \frac{hc}{\lambda_{\text{IR}}} = \frac{1{,}9878\times10^{-25}}{7{,}00\times10^{-7}}.
Fazendo a divisão:
E_{\text{IR}} = 2{,}8397\times10^{-19}\\ \text{J}.
Comentário intuitivo: como \lambda_{\text{IR}}>\lambda_{\text{UV}}, temos E_{\text{IR}}<E_{\text{UV}}. Fótons de maior comprimento de onda têm menos energia.

Passo 7

Agora calculamos quantos fótons por segundo cada lâmpada emite usando N = \dfrac{P}{E}.
Para \lambda_{\text{UV}} = 400\\ \text{nm}:
N_{\text{UV}} = \frac{P_{\text{UV}}}{E_{\text{UV}}} = \frac{400}{4{,}9695\times10^{-19}}.
Fazendo a divisão:
N_{\text{UV}} = 8{,}0489\times10^{20}\\ \text{fótons/s}.ó
Para \lambda_{\text{IR}} = 700\\ \text{nm}:
N_{\text{IR}} = \frac{P_{\text{IR}}}{E_{\text{IR}}} = \frac{400}{2{,}8397\times10^{-19}}.
Fazendo a divisão:
N_{\text{IR}} = 1{,}4086\times10^{21}\\ \text{fótons/s}.ó

Passo 8

Comparação e motivo físico: N_{\text{IR}}>N_{\text{UV}} porque cada fóton infravermelho carrega menos energia, então, com a mesma potência (mesma energia por segundo), a lâmpada infravermelha precisa emitir mais fótons por segundo. Podemos ver a razão diretamente:
\frac{N_{\text{IR}}}{N_{\text{UV}}} = \frac{E_{\text{UV}}}{E_{\text{IR}}} = \frac{\lambda_{\text{IR}}}{\lambda_{\text{UV}}} = \frac{700}{400} = 1{,}75,
ou seja, a lâmpada de 700\\ \text{nm} emite 1{,}75 vezes mais fótons por segundo que a de 400\\ \text{nm}.

Resposta

(a) A lâmpada infravermelha ( \lambda=700\\ \text{nm}) emite mais fótons por segundo.
(b) 1{,}41\times10^{21}\\ \text{fótons/s}ó

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