Prove que a quadriforça K^{\mu}=d p^{\mu} / d \tau. Mostre que para força constante, a energia cinética varia como \gamma m c^{2}-m c^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Provar que a quadriforça é dada por \displaystyle K^{\mu}=\frac{d p^{\mu}}{d \tau}.
  • Mostrar que, para força constante, a energia cinética varia como \displaystyle \gamma m c^{2}-m c^{2}.
Informações relevantes dadas/assumidas (que usaremos sem perguntar):
  • Existe o tempo próprio \tau do corpo (parâmetro natural em relatividade).
  • m é a massa (assumimos massa invariante, ou seja, constante).
  • c é a velocidade da luz.
  • p^{\mu} é o quadrimomento do corpo e K^{\mu} é a quadriforça a ser relacionada a p^{\mu}.
  • Podemos assumir a métrica padrão com sinal (+,-,-,-) para escrever componentes e contrair índices.
Não vou resolver nada aqui ainda — só deixei claro o pedido e as hipóteses que vou usar.

Passo 2

Definições básicas que vou usar (e explicar bem):
  • Coordenadas espaço-tempo: x^{\mu}=(ct,\mathbf{x}), onde t é o tempo do referencial e \mathbf{x} a posição espacial.
  • Tempo próprio \tau é definido por d\tau^{2} = dt^{2} - \frac{1}{c^{2}}d\mathbf{x}^{2} na métrica (+,-,-,-). Intuitivamente, \tau é o “relógio” que anda no corpo; é o parâmetro natural para o movimento do corpo.
  • Quatrivelocidade (four-velocity): \displaystyle u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}. Explicando: u^{0}=\frac{dx^{0}}{d\tau}=\frac{d(ct)}{d\tau}=c\,\frac{dt}{d\tau}= \gamma c e u^{i}=\gamma v^{i}, onde \mathbf{v}=d\mathbf{x}/dt é a velocidade 3D usual e \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.
  • Quadrimomento (four-momentum): \displaystyle p^{\mu}=m u^{\mu}. Aqui m é a massa própria (invariante). Assim p^{0}=\gamma m c e p^{i}=\gamma m v^{i}.
  • Energia total E ligada a p^{0} por \displaystyle E = p^{0} c = \gamma m c^{2}. Explicando: o componente temporal do quadrimomento, multiplicado por c, é a energia relativística.
Essas definições já nos mostram como p^{\mu} codifica momento e energia. Agora vamos ao que se pede.

Passo 3

Prova direta de \displaystyle K^{\mu}=\frac{d p^{\mu}}{d \tau}:
  • Definição natural de quadriforça: em relatividade, a força deve ser a taxa de variação do quadrimomento em relação ao parâmetro natural do corpo (o tempo próprio). Ou seja, definimos a quadriforça como a derivada total do quadrimomento em \tau:
K^{\mu}\equiv \frac{d p^{\mu}}{d \tau}.
  • Se quiseres ver a forma com massa explícita, usando p^{\mu}=m u^{\mu} e massa constante, obtemos
K^{\mu}=\frac{d}{d\tau}(m u^{\mu})=m\frac{d u^{\mu}}{d\tau}.
Isto é, a quadriforça é m vezes a aceleração de quatro-dimensão \,d u^{\mu}/d\tau. Essa é a analogia direta com \mathbf{F}=m\mathbf{a} da mecânica newtoniana, só que em 4D e com parâmetro \tau.
Comentário conceitual: essa igualdade é exatamente a generalização de “força = taxa de variação do momento” ao espaço-tempo: primeiro definimos momento 4D e depois tomamos sua derivada em relação ao tempo próprio. Portanto a identidade é verdadeira por construção/definição e compatível com a forma m\,d u^{\mu}/d\tau quando m é constante.

Passo 4

Relação entre componentes espaciais da quadriforça e a força 3D usual:
  • Em um referencial lab (tempo de coordenada t) temos dt = \gamma d\tau. Assim, relacionando derivadas:
\frac{d p^{i}}{d\tau}=\frac{d p^{i}}{dt}\frac{dt}{d\tau}=\gamma\,\frac{d p^{i}}{dt}.
  • Se definimos a força 3D usual pelo \displaystyle F^{i}\equiv \frac{d p^{i}}{dt} (isto é, taxa temporal ordinária do momento 3D no referencial escolhidos), então a componente espacial da quadriforça satisfaz
K^{i}=\frac{d p^{i}}{d\tau}=\gamma F^{i}.
Explicando: a quadriforça tem componentes espaciais ampliadas por um fator \gamma em relação à força 3D, porque o parâmetro natural é \tau, não t.
Esse resultado mostra consistência com a física não-relativística no limite v\ll c (pois \gamma\to1).

Passo 5

Propriedade importante: ortogonalidade entre quadrivelocidade e quadriforça:
  • Calcamos u_{\mu}p^{\mu}=m u_{\mu}u^{\mu}=m c^{2} (porque u_{\mu}u^{\mu}=c^{2} com a convenção escolhida).
  • Derivando em \tau:
\frac{d}{d\tau}(u_{\mu}p^{\mu})=\frac{d}{d\tau}(m c^{2})=0.
  • Expansando a derivada do produto e usando p^{\mu}=m u^{\mu}:
\frac{d u_{\mu}}{d\tau}p^{\mu}+u_{\mu}\frac{d p^{\mu}}{d\tau}=0.
Mas a primeira parcela é simétrica e dá (com manipulação) que
u_{\mu}K^{\mu}=0.
Em palavras: a quadriforça é ortogonal à quadrivelocidade. Física intuitiva: não existe “potência” no próprio referencial instantâneo do corpo — a componente temporal da quadriforça medida no próprio instante anula quando contracionada com u^{\mu}.

Passo 6

Mostrando que a taxa de variação da energia é \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} (work–power) e obtendo a expressão para energia:
  • Energia relativística: \displaystyle E=\gamma m c^{2}.
  • Vamos calcular dE/dt. Primeiro precisamos de d\gamma/dt. Lembrando \gamma=(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}, derivando em relação a t obtemos
\frac{d\gamma}{dt}=\gamma^{3}\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{c^{2}},
onde \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt é a aceleração 3D. (Este passo é só cálculo de derivada; se quiseres eu mostro linha a linha.)
  • Então
\frac{dE}{dt}=m c^{2}\frac{d\gamma}{dt}=m c^{2}\gamma^{3}\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{c^{2}}=\gamma^{3}m(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}).
  • Por outro lado, a potência da força 3D é
\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}\cdot\mathbf{v}=\frac{d}{dt}(\gamma m \mathbf{v})\cdot\mathbf{v}.
Calculando a derivada do produto dá
\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=\gamma m(\mathbf{a}\cdot\mathbf{v})+m\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\,\frac{d\gamma}{dt}.
Substituindo \dfrac{d\gamma}{dt}=\gamma^{3}\dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{c^{2}} e fazendo a simplificação algébrica (usar 1+\gamma^{2}v^{2}/c^{2}=\gamma^{2}), obtemos
\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=\gamma^{3}m(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}).
  • Comparando com a expressão de dE/dt vemos que
\frac{dE}{dt}=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.
Isto é a versão relativística do teorema trabalho-energia: a potência é a taxa de variação da energia.

Passo 7

Integração para obter a energia cinética quando a força é constante (ou mesmo em geral, se integrarmos ao longo do trajeto):
  • A variação de energia entre dois instantes é
\Delta E=\int_{t_{0}}^{t} \frac{dE}{dt}\,dt=\int_{t_{0}}^{t}\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\,dt=\int_{\mathbf{x}_{0}}^{\mathbf{x}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x},
ou seja, o trabalho realizado pela força.
  • Em particular, se começamos do repouso em t_{0} (ou consideramos a energia de repouso E_{0}=m c^{2} como referência), então a energia total no tempo t é
E(t)=m c^{2}+\int_{\mathbf{x}_{0}}^{\mathbf{x}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}.
Mas já sabemos que a energia também é \gamma m c^{2}. Portanto a energia cinética (energia acima da de repouso) é
T\equiv E-m c^{2}=\gamma m c^{2}-m c^{2}=(\gamma-1)m c^{2}.
  • Observação sobre “força constante”: se a força é constante e está sempre dirigida ao longo do deslocamento (caso mais simples), então a integral do trabalho é fácil e a mudança de energia obtida é exatamente a diferença \gamma m c^{2}-m c^{2}. Mesmo para forças não-constantes, o resultado T=(\gamma-1)m c^{2} continua válido: ele é simplesmente a expressão da energia cinética em função da velocidade \mathbf{v}.

Passo 8

Resumo pedagógico e intuição final (rápido e motivador):
  • A identidade K^{\mu}=dp^{\mu}/d\tau é a generalização direta de “força = taxa de variação do momento” para o espaço-tempo: definimos quadrimomento p^{\mu}=m u^{\mu} e derivamos em relação ao tempo próprio.
  • A componente temporal do quadrimomento dá a energia total E=\gamma m c^{2}. A potência relativística é \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}, e integrando obtemos que a energia extra (cinética) adquirida por uma partícula ao aumentar sua velocidade é \gamma m c^{2}-m c^{2}. Em palavras: “o trabalho realizado vira aumento de \gamma m c^{2}, e subtraindo a energia de repouso sobra a energia cinética”.

Resposta

K^{\mu}=\dfrac{d p^{\mu}}{d \tau}.\n
Energia cinética: \gamma m c^{2}-m c^{2}.

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