Prove que a quadriforça
. Mostre que para força constante, a energia cinética varia como
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Provar que a quadriforça é dada por
. - Mostrar que, para força constante, a energia cinética varia como
.
Informações relevantes dadas/assumidas (que usaremos sem perguntar):
- Existe o tempo próprio
do corpo (parâmetro natural em relatividade). -
é a massa (assumimos massa invariante, ou seja, constante). -
é a velocidade da luz. -
é o quadrimomento do corpo e é a quadriforça a ser relacionada a . - Podemos assumir a métrica padrão com sinal
para escrever componentes e contrair índices.
Não vou resolver nada aqui ainda — só deixei claro o pedido e as hipóteses que vou usar.
Passo 2
Definições básicas que vou usar (e explicar bem):
- Coordenadas espaço-tempo:
, onde é o tempo do referencial e a posição espacial. - Tempo próprio
é definido por na métrica . Intuitivamente, é o “relógio” que anda no corpo; é o parâmetro natural para o movimento do corpo. - Quatrivelocidade (four-velocity):
. Explicando: e , onde é a velocidade 3D usual e . - Quadrimomento (four-momentum):
. Aqui é a massa própria (invariante). Assim e . - Energia total
ligada a por . Explicando: o componente temporal do quadrimomento, multiplicado por , é a energia relativística.
Essas definições já nos mostram como
codifica momento e energia. Agora vamos ao que se pede.
Passo 3
Prova direta de
:
- Definição natural de quadriforça: em relatividade, a força deve ser a taxa de variação do quadrimomento em relação ao parâmetro natural do corpo (o tempo próprio). Ou seja, definimos a quadriforça como a derivada total do quadrimomento em
:
- Se quiseres ver a forma com massa explícita, usando
e massa constante, obtemos
Isto é, a quadriforça é
vezes a aceleração de quatro-dimensão
. Essa é a analogia direta com
da mecânica newtoniana, só que em 4D e com parâmetro
.
Comentário conceitual: essa igualdade é exatamente a generalização de “força = taxa de variação do momento” ao espaço-tempo: primeiro definimos momento 4D e depois tomamos sua derivada em relação ao tempo próprio. Portanto a identidade é verdadeira por construção/definição e compatível com a forma
quando
é constante.
Passo 4
Relação entre componentes espaciais da quadriforça e a força 3D usual:
- Em um referencial lab (tempo de coordenada
) temos . Assim, relacionando derivadas:
- Se definimos a força 3D usual pelo
(isto é, taxa temporal ordinária do momento 3D no referencial escolhidos), então a componente espacial da quadriforça satisfaz
Explicando: a quadriforça tem componentes espaciais ampliadas por um fator
em relação à força 3D, porque o parâmetro natural é
, não
.
Esse resultado mostra consistência com a física não-relativística no limite
(pois
).
Passo 5
Propriedade importante: ortogonalidade entre quadrivelocidade e quadriforça:
- Calcamos
(porque com a convenção escolhida). - Derivando em
:
- Expansando a derivada do produto e usando
:
Mas a primeira parcela é simétrica e dá (com manipulação) que
Em palavras: a quadriforça é ortogonal à quadrivelocidade. Física intuitiva: não existe “potência” no próprio referencial instantâneo do corpo — a componente temporal da quadriforça medida no próprio instante anula quando contracionada com
.
Passo 6
Mostrando que a taxa de variação da energia é
(work–power) e obtendo a expressão para energia:
- Energia relativística:
. - Vamos calcular
. Primeiro precisamos de . Lembrando , derivando em relação a obtemos
onde
é a aceleração 3D. (Este passo é só cálculo de derivada; se quiseres eu mostro linha a linha.)
- Então
- Por outro lado, a potência da força 3D é
Calculando a derivada do produto dá
Substituindo
e fazendo a simplificação algébrica (usar
), obtemos
- Comparando com a expressão de
vemos que
Isto é a versão relativística do teorema trabalho-energia: a potência é a taxa de variação da energia.
Passo 7
Integração para obter a energia cinética quando a força é constante (ou mesmo em geral, se integrarmos ao longo do trajeto):
- A variação de energia entre dois instantes é
ou seja, o trabalho realizado pela força.
- Em particular, se começamos do repouso em
(ou consideramos a energia de repouso como referência), então a energia total no tempo é
Mas já sabemos que a energia também é
. Portanto a energia cinética (energia acima da de repouso) é
- Observação sobre “força constante”: se a força é constante e está sempre dirigida ao longo do deslocamento (caso mais simples), então a integral do trabalho é fácil e a mudança de energia obtida é exatamente a diferença
. Mesmo para forças não-constantes, o resultado continua válido: ele é simplesmente a expressão da energia cinética em função da velocidade .
Passo 8
Resumo pedagógico e intuição final (rápido e motivador):
- A identidade
é a generalização direta de “força = taxa de variação do momento” para o espaço-tempo: definimos quadrimomento e derivamos em relação ao tempo próprio. - A componente temporal do quadrimomento dá a energia total
. A potência relativística é , e integrando obtemos que a energia extra (cinética) adquirida por uma partícula ao aumentar sua velocidade é . Em palavras: “o trabalho realizado vira aumento de , e subtraindo a energia de repouso sobra a energia cinética”.
Resposta
Energia cinética: