Se 3 % das lâmpadas elétricas fabricadas por uma companhia são defeituosas, determinar a probabilidade de, em uma amostra de 100 lâmpadas, serem defeituosas
5 lâmpadas.

Passo 1

Beleza, o enunciado fala que 3 % das lâmpadas de uma fábrica são defeituosas. A gente pega uma amostra de 100 lâmpadas e quer saber a probabilidade de exatamente 5 delas serem defeituosas.
Conteúdo: distribuição binomial.
O que vamos precisar:
  • Entender que isso é um caso de Binomial com parâmetros P(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^,n-k e .
  • Saber usar a fórmula
  • Calcular combinação, potências e multiplicação.

Passo 2

Definindo a variável: seja Xsim Bin(n=100,;p=0,03) o número de lâmpadas defeituosas na amostra. Então
P(X=5)=binom1005,(0,03)^5,(0,97)^95
A probabilidade de é dada por

Passo 3

Calcular a combinação binom1005 =100times99times98times97times965! =9,034,502,400120 =75,287,520 :

Passo 4

Agora as potências:
(0,03)^5 = (3times10^-2)^5 = 3^5times10^-10 =243times10^-10 =2,43times10^-8,
(0,97)^95approx 0,0553(usando logaritmos ou calculadora)

Passo 5

Multiplicando tudo:
P(X=5) =75,287,520times(2,43times10^-8)times0,0553 approx1,8295times0,0553 approx0,1012

Resposta

A probabilidade de exatamente 5 lâmpadas serem defeituosas é aproximadamente
boxed0,1012 (ou 10,12%)

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