Pessoas utilizam determinado caixa eletrônico a uma taxa de 1 a cada 2 minutos.
Qual é a probabilidade de que pelo menos 4 pessoas busquem utilizar o caixa nesse tempo?

Passo 1

Beleza, olha só o que temos: a galera usa o caixa eletrônico a uma taxa média de 1 pessoa a cada 2 minutos. A pergunta é: qual a probabilidade de que, em 2 minutos, pelo menos 4 pessoas apareçam?
Conteúdo da matéria: Distribuição de Poisson.
O que a gente vai precisar:
  • Entender a média (λ) de eventos num intervalo.
  • Saber a fórmula da Poisson:
P(X = k) = e^-lambda,lambda^kk!
  • Calcular usando .

Passo 2

Primeiro, calcula a média λ pro intervalo de 2 minutos.
Como a taxa é 1 pessoa a cada 2 minutos, isso já dá λ = 1 para o nosso intervalo de 2 minutos.

Passo 3

Relembra a distribuição de Poisson:
  • É boa pra contar quantos eventos ocorrem num intervalo fixo, sabendo a média λ.
  • A fórmula é
P(X = k) = e^-lambda,lambda^kk!
Aqui queremos P(X >= 4) ;=; 1 - P(X <= 3) ;=; 1 - sumk=0^3 P(X = k) . A forma mais simples é usar o complementar:

Passo 4

Agora calculamos cada termo sumk=0^3 P(X=k) = e^-1l(1 + 1 + tfrac12 + tfrac16r) = e^-1,l(tfrac6+6+3+16r) = e^-1,tfrac166 = e^-1,tfrac83 pra , com λ=1:
  • .
  • .
  • .
  • .
Somando:

Passo 5

Agora,
P(X >= 4) = 1 - e^-1,83
Sabendo que e^-1,83 approx 0,3679 times 2,6667 approx 0,9817 :
P(X>=4) approx 1 - 0,9817 = 0,0183
Então

Resposta

A probabilidade de ter pelo menos 4 pessoas em 2 minutos é aproximadamente (ou 1,83%).

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