Com base em uma amostra de 100 professores, um estudo foi realizado para analisar o plano de aposentadoria vigente. Se menos de
estiverem satisfeitos, uma alternativa será encontrada. Assumindo que
, qual a probabilidade do plano atual ser substituído?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a satisfação de professores com um plano de aposentadoria. A pergunta é: se menos de 60% dos 100 professores estiverem satisfeitos, eles vão mudar o plano. A gente sabe que a taxa real de satisfação é de 65% (ou seja,
). Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de esse plano atual ser substituído.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma distribuição binomial. Isso porque estamos lidando com um número fixo de tentativas (100 professores), cada tentativa tem dois resultados possíveis (satisfeito ou não satisfeito), e a probabilidade de sucesso (estar satisfeito) é a mesma para cada professor, que é 65% ou
.
Passo 3
Nosso próximo passo é calcular a probabilidade de menos de 60 professores estarem satisfeitos. Matemáticamente, queremos
, onde
é o número de professores satisfeitos.
Passo 4
Como o número de professores é grande (100), podemos usar a aproximação normal para a distribuição binomial. Isso facilita os cálculos. Para isso, precisamos calcular a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial.
Passo 5
A média da distribuição binomial é dada por
. Substituindo os valores, temos:
Passo 6
O desvio padrão da distribuição binomial é calculado por
. Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
. Usando a aproximação normal, vamos converter esse valor para um escore Z:
Passo 8
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos
. Esse valor corresponde à área à esquerda de
na curva normal, que é aproximadamente 0,1469.
Passo 9
Então, a probabilidade de menos de 60 professores estarem satisfeitos com o plano atual é de aproximadamente 14,69%.
Resposta
A probabilidade do plano atual ser substituído é de aproximadamente
.