Lança-se um corpo de massa m verticalmente para cima com velocidade inicial v0. Supondo nula a resistência do ar, determine (a) a equação do movimento no sistema de coordenadas da fig. 9-6, (b) uma expressão para a velocidade do corpo no instante t, © o instante t m em que o corpo atinge a altura máxima, (d) uma expressão para a posição do corpo no instante t, e (e) a altura máxima atingida pelo corpo.

Passo 1

O enunciado joga um corpo de massa m para cima com velocidade inicial v0 desprezando o atrito do ar. A matéria aqui é movimento unidimensional com aceleração constante (MRUV) sob a ação da gravidade. Vamos usar a segunda lei de Newton para obter a equação diferencial, depois integrar para achar velocidade e posição e por fim determinar tempo de subida e altura máxima.

Passo 2

Pela segunda lei de Newton temos força resultante F = - m g (sinal negativo porque a gravidade aponta para baixo). Assim
m,ddot y = -m,g
e simplificando por m vem a equação do movimento
ddot y = -g

Passo 3

A partir de ddot y = -g, integramos em relação ao tempo para obter a velocidade. A integração dá
dot y(t)=integralddot y,dt = -g t + C1
e usando a condição inicial dot y(0)=v0 obtemos C1=v0. Portanto
dot y(t)=v0 - g t

Passo 4

Para achar o instante tm em que a velocidade zera (altura máxima) impomos dot y(tm)=0. Assim
0=v0 - g tm
dando
tm=v0g

Passo 5

Agora integramos a velocidade para achar a posição y(t). Fazendo
y(t)=integraldot y(t),dt=integral(v0 - g t),dt = v0 t - tfrac12 g t^2 + C2
e usando y(0)=0 obtemos C2=0. Logo
y(t)=v0 t - tfrac12 g t^2

Passo 6

Por fim, a altura máxima é y(tm). Substituindo tm=tfracv0g em y(t)
H=yl(tmr)=v0v0g - tfrac12 gl(v0gr)^2=v0^22g

Resposta

(a) ddot y=-g
(b) v(t)=v0 - g t
© tm=tfracv0g
(d) y(t)=v0 t - tfrac12 g t^2
(e) H=tfracv0^22g

Exercícios relacionados