Um lançador arremessa uma bola de beisebol para cima ao longo de um eixo y, com velocidade inicial de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima.
(b) Qual é a altura máxima atingida pela bola, a partir do seu ponto de lançamento?
(c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5 m acima do seu ponto de partida?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • Um lançador arremessa uma bola verticalmente para cima com velocidade inicial \,v_0=12\\ \mathrm{m/s}\,.
  • Movimento ao longo do eixo y, medido a partir do ponto de lançamento (ou seja, altura inicial \,y_0=0 ).
  • Não foi dado o valor de g, então usarei o valor padrão \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}\, (aceleração da gravidade, para baixo).
  • Perguntas:
    (a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima?
    (b) Qual é a altura máxima atingida pela bola, a partir do seu ponto de lançamento?
    (c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5\\ \mathrm{m} acima do ponto de partida?

Passo 2

Modelos e fórmulas que vamos usar (explicação didática das equações de movimento vertical):
  • Para um movimento com aceleração constante usamos as equações cinemáticas. Tomando a direção para cima como positiva e a origem y=0 no ponto de lançamento: v(t)=v_0 + a\,t
y(t)=y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
Onde:
  • v(t) é a velocidade instantânea no tempo t.
  • v_0 é a velocidade inicial (aqui \,v_0=12\\ \mathrm{m/s}\,).
  • a é a aceleração (aqui a=-g, porque a gravidade aponta para baixo).
  • y(t) é a posição (altura) no tempo t.
  • y_0 é a altura inicial (aqui y_0=0).
  • Como a gravidade é para baixo, substituímos a=-g com \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}\,. Assim: v(t)=v_0 - g t
y(t)=v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2

Passo 3

Resolvendo (a): tempo para atingir a altura máxima (a ideia física e a conta passo a passo)
  • Física simples: no ponto de altura máxima a velocidade instantânea é zero ( v=0), porque a bola pára momentaneamente antes de cair.
  • Use a equação v(t)=v_0 - g t e imponha v(t)=0: 0 = v_0 - g t
t = \frac{v_0}{g}
  • Substituindo os valores ( v_0=12, g=9,8): t = \frac{12}{9,8}
  • Cálculo numérico: t \approx 1,22449\\ \mathrm{s}
  • Arredondando de forma prática para a prova (duas casas decimais é suficiente): t \approx 1,22\\ \mathrm{s}
  • Interpretação: esse é o tempo contado desde o lançamento até o instante em que a velocidade vertical é zero (ponto mais alto).

Passo 4

Resolvendo (b): altura máxima (duas maneiras e demonstração passo a passo)
  • Método 1 (usar y(t) no instante t_{\max}): y_{\max}=y(t_{\max})=v_0 t_{\max} - \tfrac{1}{2} g t_{\max}^2Sabendo que t_{\max}=\dfrac{v_0}{g}, substituímos: y_{\max}=v_0\!\left(\frac{v_0}{g}\right) - \tfrac{1}{2} g \!\left(\frac{v_0}{g}\right)^{\!2}
y_{\max}=\frac{v_0^2}{g} - \frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g}=\frac{v_0^2}{2g}
(essa forma é muito útil e comum: a altura máxima é \dfrac{v_0^2}{2g}).
  • Substituindo v_0=12 e g=9,8: y_{\max}=\frac{12^2}{2\cdot 9,8}=\frac{144}{19,6}
  • Cálculo numérico: y_{\max}\approx 7,34694\\ \mathrm{m}
  • Arredondando de forma prática: y_{\max}\approx 7,35\\ \mathrm{m}
  • Interpretação: essa é a altura, medida a partir do ponto de lançamento, onde a bola para de subir.

Passo 5

Resolvendo (c): tempos em que a bola está a 5\\ \mathrm{m} acima do ponto de partida (montando e resolvendo a equação quadrática)
  • Queremos y(t)=5. Use a equação: y(t)=v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2 = 5
  • Colocando todos os termos no lado esquerdo e organizando como uma quadrática padrão a t^2 + b t + c = 0: -\tfrac{1}{2} g t^2 + v_0 t - 5 = 0Multiplicando por -1 para ficar com coeficiente positivo em t^2: \tfrac{1}{2} g t^2 - v_0 t + 5 = 0
  • Substituindo números ( g=9,8, v_0=12): 4,9\,t^2 - 12\,t + 5 = 0
  • Aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a=4,9, b=-12 (note o sinal), c=5 usamos a forma t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Aqui é mais direto usar b= -12 ou usar a versão com +12 conforme escolhemos os sinais; eu uso os coeficientes tal como escritos 4,9 t^2 -12 t +5=0 então a=4,9, b=-12, c=5.
  • Calculamos o discriminante: \Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4\cdot 4,9 \cdot 5 = 144 - 98 = 46Como \Delta>0, há duas soluções reais (físicas: uma ao subir, outra ao descer).
  • Raízes: t = \frac{12 \pm \sqrt{46}}{2\cdot 4,9} = \frac{12 \pm \sqrt{46}}{9,8}
  • Cálculo aproximado da raiz quadrada: \sqrt{46}\approx 6,78233.
  • Então: t_1 = \frac{12 - 6,78233}{9,8} \approx \frac{5,21767}{9,8} \approx 0,53242\\ \mathrm{s}
t_2 = \frac{12 + 6,78233}{9,8} \approx \frac{18,78233}{9,8} \approx 1,91594\\ \mathrm{s}
  • Arredondando para duas casas decimais (prático para prova): t_1 \approx 0,53\\ \mathrm{s}\quad\text{(subindo)}
t_2 \approx 1,92\\ \mathrm{s}\quad\text{(descendo)}
  • Verificação rápida: o tempo total de voo (ida e volta) seria T_{\text{total}}=2\dfrac{v_0}{g}\approx 2,45\\ \mathrm{s}, e ambas as soluções estão entre 0 e T_{\text{total}}, o que faz sentido físico.

Resposta

(a) t_{\max}=\dfrac{12}{9,8}\approx 1,22\\ \mathrm{s}
(b) y_{\max}=\dfrac{12^2}{2\cdot 9,8}\approx 7,35\\ \mathrm{m}
(c) t\approx 0,53\\ \mathrm{s} (subindo) e t\approx 1,92\\ \mathrm{s} (descendo)

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