Um lançador arremessa uma bola de beisebol para cima ao longo de um eixo y, com velocidade inicial de
.
(a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima.
(b) Qual é a altura máxima atingida pela bola, a partir do seu ponto de lançamento?
(c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5 m acima do seu ponto de partida?
(a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima.
(b) Qual é a altura máxima atingida pela bola, a partir do seu ponto de lançamento?
(c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5 m acima do seu ponto de partida?
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
- Um lançador arremessa uma bola verticalmente para cima com velocidade inicial
. - Movimento ao longo do eixo
, medido a partir do ponto de lançamento (ou seja, altura inicial ). - Não foi dado o valor de
, então usarei o valor padrão (aceleração da gravidade, para baixo). - Perguntas:
(a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima?
(b) Qual é a altura máxima atingida pela bola, a partir do seu ponto de lançamento?
(c) Quanto tempo a bola leva para atingir um pontoacima do ponto de partida?
Passo 2
Modelos e fórmulas que vamos usar (explicação didática das equações de movimento vertical):
- Para um movimento com aceleração constante usamos as equações cinemáticas. Tomando a direção para cima como positiva e a origem
no ponto de lançamento:
Onde:
-
é a velocidade instantânea no tempo . -
é a velocidade inicial (aqui ). -
é a aceleração (aqui , porque a gravidade aponta para baixo). -
é a posição (altura) no tempo . -
é a altura inicial (aqui ). - Como a gravidade é para baixo, substituímos
com . Assim:
Passo 3
Resolvendo (a): tempo para atingir a altura máxima (a ideia física e a conta passo a passo)
- Física simples: no ponto de altura máxima a velocidade instantânea é zero (
), porque a bola pára momentaneamente antes de cair. - Use a equação
e imponha :
- Substituindo os valores (
, ): - Cálculo numérico:
- Arredondando de forma prática para a prova (duas casas decimais é suficiente):
- Interpretação: esse é o tempo contado desde o lançamento até o instante em que a velocidade vertical é zero (ponto mais alto).
Passo 4
Resolvendo (b): altura máxima (duas maneiras e demonstração passo a passo)
- Método 1 (usar
no instante ): Sabendo que , substituímos:
(essa forma é muito útil e comum: a altura máxima é
).
- Substituindo
e : - Cálculo numérico:
- Arredondando de forma prática:
- Interpretação: essa é a altura, medida a partir do ponto de lançamento, onde a bola para de subir.
Passo 5
Resolvendo (c): tempos em que a bola está a
acima do ponto de partida (montando e resolvendo a equação quadrática)
- Queremos
. Use a equação: - Colocando todos os termos no lado esquerdo e organizando como uma quadrática padrão
: Multiplicando por para ficar com coeficiente positivo em : - Substituindo números (
, ): - Aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para
, (note o sinal), usamos a forma . Aqui é mais direto usar ou usar a versão com conforme escolhemos os sinais; eu uso os coeficientes tal como escritos então , , . - Calculamos o discriminante:
Como , há duas soluções reais (físicas: uma ao subir, outra ao descer). - Raízes:
- Cálculo aproximado da raiz quadrada:
. - Então:
- Arredondando para duas casas decimais (prático para prova):
- Verificação rápida: o tempo total de voo (ida e volta) seria
, e ambas as soluções estão entre e , o que faz sentido físico.
Resposta
(a)
(b)
(c) (subindo) e
(descendo)
(b)
(c)