Um passageiro na roda-gigante de um parque de diversões move–se em um círculo vertical de raio
com velocidade constante
. Supondo que o assento permaneça sempre na vertical durante o movimento, deduza relações para a força que o assento exerce sobre o passageiro no topo e na base do círculo.
Passo 1
Enunciado, o que se pede e dados fornecidos.\n
- Um passageiro, de massa
(introduzimos porque é necessária para calcular forças), move-se em um círculo vertical de raio com velocidade constante .\n - O assento permanece sempre na vertical durante o movimento (isto garante que a força do assento sobre o passageiro esteja radial, apontando para o centro do círculo).\n
- O objetivo: deduzir expressões para a força que o assento exerce sobre o passageiro no topo do círculo e na base do círculo.\n
- Dados conhecidos que usaremos:
, , , e a aceleração da gravidade .
Passo 2
Conceitos fundamentais que precisamos antes de escrever as equações (explicação didática e intuitiva).\n
- Movimento circular uniforme significa que a velocidade escalar
tem módulo constante, mas a direção varia; essa mudança de direção exige uma aceleração dirigida para o centro do círculo, chamada aceleração centrípeta.\n - A fórmula da aceleração centrípeta é
onde
é a magnitude da aceleração dirigida para o centro,
é a velocidade escalar e
é o raio do círculo.\n
- Newton (2ª lei) nos diz que a soma das forças resultantes na direção radial (isto é, na direção do centro) é igual a
vezes a aceleração centrípeta:
Aqui
é a soma algébrica das componentes radiais das forças que atuam no passageiro (considerando sinais: positivas quando apontam para o centro, negativas quando apontam para fora).
Passo 3
Identificar as forças que atuam no passageiro e sua orientação.\n
- Força peso:
, sempre vertical para baixo (independente da posição).\n - Força do assento sobre o passageiro: normal
(queremos essa). Pelo enunciado, o assento fica vertical, então é radial, apontando do assento para o passageiro; no topo do círculo o centro está abaixo, então o sentido radial “para o centro” é para baixo; na base o centro está acima, então sentido radial “para o centro” é para cima.\n - Não estamos considerando atrito tangencial ou outras forças (assumimos que a velocidade é mantida constante por algum mecanismo, mas para a relação das forças radiais apenas
e importam).
Passo 4
Analisar a situação no topo do círculo e montar a equação radial (explicação passo a passo).\n
- No topo do círculo, o centro do movimento está abaixo do passageiro; portanto, a direção “para o centro” é para baixo.\n
- Vamos tomar como positivo o sentido para o centro (isto é, para baixo no topo). Assim, as contribuições das forças na direção radial (positivas para baixo) são: peso
(para baixo) e a normal . Portanto, a soma das forças radiais é
- Pela 2ª lei, essa soma deve ser igual a
vezes a aceleração centrípeta, que tem módulo e aponta para o centro (para baixo no topo). Logo escrevemos
- Isolando
, obtemos
Passo 5
Interpretação física da expressão no topo e casos importantes (didática aplicada).\n
- A expressão obtida é
- Interpretando: se
então e o assento pressiona o passageiro para baixo (normal “empurra” o passageiro). Se então : o passageiro fica momentaneamente “sem contato” (sensação de ausência de peso) — é o caso clássico de “peso aparente zero” no topo. Se então , o que indica que, para manter a trajetória circular com essa velocidade, seria necessário que o assento puxasse o passageiro para baixo (força de tração); na prática, isso significa que o passageiro tenderia a perder contato e seria necessário cinto ou outro mecanismo para mantê-lo preso.
Passo 6
Analisar a situação na base do círculo e montar a equação radial (explicação passo a passo).\n
- Na base do círculo, o centro do movimento está acima do passageiro; portanto, a direção “para o centro” é para cima.\n
- Tomamos como positivo o sentido para o centro (isto é, para cima na base). As forças na direção radial são: normal
apontando para cima (positivo) e o peso apontando para baixo (contribuição negativa). Assim a soma algébrica das forças radiais é
- Pela 2ª lei, essa soma deve ser igual a
vezes a aceleração centrípeta (que aqui aponta para cima). Logo
- Isolando
, obtemos
Passo 7
Interpretação física da expressão na base e observações finais.\n
- A expressão obtida é
- Note que
é sempre maior que : na base o passageiro sente um “peso aparente” aumentado porque parte da força normal tem que fornecer a aceleração centrípeta para cima além de contrabalançar o peso.\n - Comparando topo e base: a diferença entre as normais é
o que é uma forma útil de lembrar que a variação do esforço entre base e topo envolve duas vezes o peso.