Um passageiro na roda-gigante de um parque de diversões move–se em um círculo vertical de raio R com velocidade constante v. Supondo que o assento permaneça sempre na vertical durante o movimento, deduza relações para a força que o assento exerce sobre o passageiro no topo e na base do círculo.

Passo 1

Enunciado, o que se pede e dados fornecidos.\n
  • Um passageiro, de massa m (introduzimos m porque é necessária para calcular forças), move-se em um círculo vertical de raio R com velocidade constante v.\n
  • O assento permanece sempre na vertical durante o movimento (isto garante que a força do assento sobre o passageiro esteja radial, apontando para o centro do círculo).\n
  • O objetivo: deduzir expressões para a força que o assento exerce sobre o passageiro no topo do círculo e na base do círculo.\n
  • Dados conhecidos que usaremos: R, v, m, e a aceleração da gravidade g.

Passo 2

Conceitos fundamentais que precisamos antes de escrever as equações (explicação didática e intuitiva).\n
  • Movimento circular uniforme significa que a velocidade escalar v tem módulo constante, mas a direção varia; essa mudança de direção exige uma aceleração dirigida para o centro do círculo, chamada aceleração centrípeta.\n
  • A fórmula da aceleração centrípeta é
a_{c}=\frac{v^{2}}{R},
onde a_{c} é a magnitude da aceleração dirigida para o centro, v é a velocidade escalar e R é o raio do círculo.\n
  • Newton (2ª lei) nos diz que a soma das forças resultantes na direção radial (isto é, na direção do centro) é igual a m vezes a aceleração centrípeta:
\sum F_{r}=m a_{c}.
Aqui \sum F_{r} é a soma algébrica das componentes radiais das forças que atuam no passageiro (considerando sinais: positivas quando apontam para o centro, negativas quando apontam para fora).

Passo 3

Identificar as forças que atuam no passageiro e sua orientação.\n
  • Força peso: \,m g, sempre vertical para baixo (independente da posição).\n
  • Força do assento sobre o passageiro: normal N (queremos essa). Pelo enunciado, o assento fica vertical, então N é radial, apontando do assento para o passageiro; no topo do círculo o centro está abaixo, então o sentido radial “para o centro” é para baixo; na base o centro está acima, então sentido radial “para o centro” é para cima.\n
  • Não estamos considerando atrito tangencial ou outras forças (assumimos que a velocidade é mantida constante por algum mecanismo, mas para a relação das forças radiais apenas N e mg importam).

Passo 4

Analisar a situação no topo do círculo e montar a equação radial (explicação passo a passo).\n
  • No topo do círculo, o centro do movimento está abaixo do passageiro; portanto, a direção “para o centro” é para baixo.\n
  • Vamos tomar como positivo o sentido para o centro (isto é, para baixo no topo). Assim, as contribuições das forças na direção radial (positivas para baixo) são: peso m g (para baixo) e a normal N_{\text{top}}. Portanto, a soma das forças radiais é
m g + N_{\text{top}}.
  • Pela 2ª lei, essa soma deve ser igual a m vezes a aceleração centrípeta, que tem módulo v^{2}/R e aponta para o centro (para baixo no topo). Logo escrevemos
m g + N_{\text{top}} = m\frac{v^{2}}{R}.
  • Isolando N_{\text{top}}, obtemos
N_{\text{top}}=m\frac{v^{2}}{R}-m g.

Passo 5

Interpretação física da expressão no topo e casos importantes (didática aplicada).\n
  • A expressão obtida é
N_{\text{top}}=m\left(\frac{v^{2}}{R}-g\right).
  • Interpretando: se \frac{v^{2}}{R}>g então N_{\text{top}}>0 e o assento pressiona o passageiro para baixo (normal “empurra” o passageiro). Se \frac{v^{2}}{R}=g então N_{\text{top}}=0: o passageiro fica momentaneamente “sem contato” (sensação de ausência de peso) — é o caso clássico de “peso aparente zero” no topo. Se \frac{v^{2}}{R}<g então N_{\text{top}}<0, o que indica que, para manter a trajetória circular com essa velocidade, seria necessário que o assento puxasse o passageiro para baixo (força de tração); na prática, isso significa que o passageiro tenderia a perder contato e seria necessário cinto ou outro mecanismo para mantê-lo preso.

Passo 6

Analisar a situação na base do círculo e montar a equação radial (explicação passo a passo).\n
  • Na base do círculo, o centro do movimento está acima do passageiro; portanto, a direção “para o centro” é para cima.\n
  • Tomamos como positivo o sentido para o centro (isto é, para cima na base). As forças na direção radial são: normal N_{\text{base}} apontando para cima (positivo) e o peso m g apontando para baixo (contribuição negativa). Assim a soma algébrica das forças radiais é
N_{\text{base}} - m g.
  • Pela 2ª lei, essa soma deve ser igual a m vezes a aceleração centrípeta m v^{2}/R (que aqui aponta para cima). Logo
N_{\text{base}} - m g = m\frac{v^{2}}{R}.
  • Isolando N_{\text{base}}, obtemos
N_{\text{base}}=m\frac{v^{2}}{R}+m g.

Passo 7

Interpretação física da expressão na base e observações finais.\n
  • A expressão obtida é
N_{\text{base}}=m\left(\frac{v^{2}}{R}+g\right).
  • Note que N_{\text{base}} é sempre maior que m g: na base o passageiro sente um “peso aparente” aumentado porque parte da força normal tem que fornecer a aceleração centrípeta para cima além de contrabalançar o peso.\n
  • Comparando topo e base: a diferença entre as normais é
N_{\text{base}}-N_{\text{top}}=2 m g,
o que é uma forma útil de lembrar que a variação do esforço entre base e topo envolve duas vezes o peso.

Resposta

N_{\text{top}}=m\left(\dfrac{v^{2}}{R}-g\right)\n
N_{\text{base}}=m\left(\dfrac{v^{2}}{R}+g\right)

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