Lançam-se 3 dados. Em quantos dos
resultados possíveis a soma dos pontos é 12?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Lançam-se 3 dados. Em quantos dos
resultados possíveis a soma dos pontos é 12?”
Isso é um problema de contagem (combinatória). Para resolver, a gente vai traduzir a soma dos três dados como uma equação de inteiros e usar dois macetes:
Isso é um problema de contagem (combinatória). Para resolver, a gente vai traduzir a soma dos três dados como uma equação de inteiros e usar dois macetes:
- Método das “estrelas e barras” (stars and bars) para contar soluções não negativas de uma soma.
- Princípio da inclusão-exclusão para respeitar o limite de cada dado (cada valor vai de 1 a 6).
Passo 2
Primeiro, modelamos cada dado como
, com
Para aplicar estrelas e barras, é mais fácil trabalhar com variáveis que comecem em 0. Então definimos
e a soma vira
Sem ainda olhar pro limite de 6, o número de soluções não negativas dessa soma é, por estrelas e barras,
Passo 3
Agora precisamos tirar da conta as soluções em que algum
, ou seja, algum
. Vamos usar inclusão-exclusão:
- Seja
o conjunto de soluções com . - Para contar
, a gente põe . Então e o número de soluções não negativas é . - O mesmo vale para
e , cada um com 10 soluções. - Interseções duplas como
exigiriam e , o que daria soma total : impossível. Portanto todas as interseções duplas são vazias.
Pelo princípio da inclusão-exclusão:
Resposta
25 resultados dos
possíveis têm soma igual a 12.