Lançam-se 3 dados. Em quantos dos 6^3 resultados possíveis a soma dos pontos é 12?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Lançam-se 3 dados. Em quantos dos resultados possíveis a soma dos pontos é 12?”
Isso é um problema de contagem (combinatória). Para resolver, a gente vai traduzir a soma dos três dados como uma equação de inteiros e usar dois macetes:
  1. Método das “estrelas e barras” (stars and bars) para contar soluções não negativas de uma soma.
  2. Princípio da inclusão-exclusão para respeitar o limite de cada dado (cada valor vai de 1 a 6).

Passo 2

Primeiro, modelamos cada dado como x1 + x2 + x3 = 12, 1 <= xi <= 6 , com
yi = xi - 1 Rightarrow yi >= 0,
Para aplicar estrelas e barras, é mais fácil trabalhar com variáveis que comecem em 0. Então definimos
(y1 + 1) + (y2 + 1) + (y3 + 1) = 12 ;Longrightarrow; y1 + y2 + y3 = 9
e a soma vira
binom9 + 3 - 13 - 1 = binom112 = 55
Sem ainda olhar pro limite de 6, o número de soluções não negativas dessa soma é, por estrelas e barras,

Passo 3

Agora precisamos tirar da conta as soluções em que algum y1' + y2 + y3 = 9 - 6 = 3 , ou seja, algum #(soluções válidas) = 55 ;-; (10+10+10) ;+; 0 = 55 - 30 = 25 . Vamos usar inclusão-exclusão:
  • Seja o conjunto de soluções com .
  • Para contar , a gente põe . Então e o número de soluções não negativas é .
  • O mesmo vale para e , cada um com 10 soluções.
  • Interseções duplas como exigiriam e , o que daria soma total : impossível. Portanto todas as interseções duplas são vazias.
Pelo princípio da inclusão-exclusão:
çõá

Resposta

25 resultados dos possíveis têm soma igual a 12.

Exercícios relacionados