No lançamento de 10 moedas. Qual a probabilidade de sair cara em 5 moedas? R. 0,2461

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação onde lançamos 10 moedas e queremos saber qual a probabilidade de sair cara exatamente em 5 delas. Isso tá ligado ao conteúdo de probabilidade e combinatória, e vamos precisar usar fórmulas de probabilidade binomial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é probabilidade binomial. É usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (no caso, 10 lançamentos de moeda), cada tentativa tem dois possíveis resultados (cara ou coroa), e a probabilidade de sucesso (sair cara) é a mesma em cada tentativa.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (10 lançamentos)
- $ k $ é o número de sucessos desejados (5 caras)
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (como a moeda é justa, $ p = 0,5 $)
- $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de n elementos tomados k a k.

Passo 4

Vamos calcular o número de combinações $ \binom{10}{5} $:
binom105
Isso significa que há 252 jeitos diferentes de obter exatamente 5 caras em 10 lançamentos.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula:
P(5) = 252 cdot (0,5)^5 cdot (1-0,5)^10-5
P(5) = 252 cdot (0,5)^5 cdot (0,5)^5
P(5) = 252 cdot (0,5)^10
P(5) = 252 cdot 11024
P(5) approx 0,2461

Resposta

A probabilidade de sair cara em exatamente 5 das 10 moedas é aproximadamente 0,2461.

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