No lançamento de 8 dados. Qual a probabilidade de sair a face 6 em quatro dos dados? R.: 0,026048

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema de probabilidade! A questão quer saber qual a chance de, ao lançar 8 dados, exatamente 4 deles mostrarem a face 6. Para resolver isso, a gente vai usar a fórmula da probabilidade binomial, que é perfeita para situações onde estamos contando o número de sucessos em um conjunto de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos que precisamos na fórmula da probabilidade binomial:
  • Número de tentativas (n): Nesse caso, são os 8 lançamentos dos dados.
  • Número de sucessos desejados (k): Queremos que exatamente 4 dos dados mostrem a face 6.
  • Probabilidade de sucesso em uma única tentativa §: Cada dado tem 6 faces, então a chance de cair 6 em um lançamento é $ \frac{1}{6} $.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
  • $ p^k $ é a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos.
  • $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.

Passo 4

Vamos calcular $ C(8, 4) $, que é o número de maneiras de escolher 4 dados que mostrarão 6 entre os 8 lançados. A fórmula para combinações é:
C(8, 4)
Então,
C(n, k) = n!k! times (n - k)!

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(4) = 70 times ( 16 )^4 times ( 1 - 16 )^8 - 4
Simplificando:
P(4) = 70 times ( 16 )^4 times ( 56 )^4

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. $ \left( \frac{1}{6} \right)^4 = \frac{1}{1296} $
  2. $ \left( \frac{5}{6} \right)^4 = \frac{625}{1296} $
Multiplicando tudo:
( 16 )^4 = 11296

Resposta

A probabilidade de sair a face 6 em quatro dos dados é aproximadamente 0,026048.

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