Uma prova com questões fechadas tem 8 questões independentes. Cada questão apresenta 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo as questões no chute.
© Qual o desvio padrão da quantidade de questões corretas? ( resp: 1,28 questões)
© Qual o desvio padrão da quantidade de questões corretas? ( resp: 1,28 questões)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma prova com 8 questões, cada uma com 5 alternativas, mas só uma está correta. O aluno vai responder chutando, ou seja, escolhendo aleatoriamente uma opção para cada questão. O que precisamos descobrir aqui é o desvio padrão da quantidade de questões que ele vai acertar. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada questão tem 5 alternativas e apenas uma está certa. Então, a probabilidade de acertar uma questão chutando é de $ p = \frac{1}{5} = 0,2 $. E a probabilidade de errar é $ q = 1 - p = 0,8 $.
Passo 3
Como as questões são independentes — ou seja, o resultado de uma não afeta as outras — podemos modelar isso como uma distribuição binomial. Nessa distribuição, temos dois parâmetros importantes: o número de tentativas $ n $ e a probabilidade de sucesso $ p $.
Passo 4
No nosso caso, temos $ n = 8 $ questões e $ p = 0,2 $. A distribuição binomial nos ajuda a calcular médias, variâncias e, claro, desvio padrão do número de acertos.
Passo 5
A variância $ \sigma^2 $ da distribuição binomial é calculada pela fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
O desvio padrão $ \sigma $ é simplesmente a raiz quadrada da variância:
Resposta
O desvio padrão da quantidade de questões corretas é aproximadamente 1,28 questões.