No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e outro vermelho, determine a probabilidade dos seguintes eventos:
A soma dos pontos é 8 e um dos dados apresenta 6 pontos.

Passo 1

O experimento: lançamento simultâneo de dois dados distintos — um branco e um vermelho. Cada dado pode mostrar um número inteiro de 1 a 6.
Informações dadas:
  • Os dois dados são distintos (importante: o resultado é um par ordenado (\text{branco},\text{vermelho})).
  • Cada face de cada dado é igualmente provável.
    Perguntas que o enunciado faz (vou responder as duas):
  1. Qual a probabilidade de que a soma dos pontos seja 8?
  2. Qual a probabilidade de que um dos dados apresente 6 pontos? (interpreto como "pelo menos um dos dados mostra 6"; se o enunciado quisesse “exatamente um”, normalmente estaria escrito “exatamente um”. Vou resolver para “pelo menos um”.)

Passo 2

Vamos entender o espaço amostral e a regra básica de contagem.
Cada resultado é um par ordenado (x,y), onde x é o número do dado branco e y o número do dado vermelho, com x\in\{1,2,3,4,5,6\} e y\in\{1,2,3,4,5,6\}. Como os dados são justos e distintos, todos os pares ordenados são igualmente prováveis.
O número total de resultados possíveis é
36,
porque há 6 possibilidades para o dado branco e 6 para o vermelho, então 6\times 6=36.
Regra de probabilidade para casos equiprováveis: a probabilidade de um evento é
\text{Probabilidade}=\frac{\text{nº de resultados favoráveis}}{\text{nº total de resultados}}.ºáº

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de soma igual a 8.
Primeiro listamos todos os pares ordenados (x,y) com x+y=8. É importante listar pares ordenados porque os dados são distintos:
(2,6),\\ (3,5),\\ (4,4),\\ (5,3),\\ (6,2).
Contamos os resultados favoráveis: são 5 pares. Assim a probabilidade é
\frac{5}{36}.
Explicando de leve: cada um desses 5 pares tem probabilidade 1/36, somando 5/36. Isso é direto e dá o resultado final para a primeira pergunta.

Passo 4

Agora a probabilidade de que “um dos dados apresenta 6 pontos” (interpretação: pelo menos um mostra 6). Vou apresentar duas formas — por enumeração direta e por complemento — porque é útil ver as duas no exame.
Enumeração direta:
  • Resultados com 6 no dado branco: (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) 6 resultados.
  • Resultados com 6 no dado vermelho (e branco diferente de 6, para não repetir (6,6)): (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6) 5 resultados adicionais.
    Total de resultados favoráveis = 6+5=11. Logo a probabilidade é
\frac{11}{36}.
Pelo método do complemento (mais elegante às vezes): o evento complementar de “pelo menos um 6” é “nenhum dos dados mostra 6”. A probabilidade de um dado não mostrar 6 é 5/6; como os lançamentos são independentes,
\Pr(\text{nenhum 6})=\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{25}{36}.
Logo
\Pr(\text{pelo menos um 6})=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36},
mesmo resultado. Esse método é muito útil quando “nenhum” é mais fácil de contar do que “pelo menos um”.

Passo 5

Resumo rápido e dica: sempre confirme se o problema pede “pelo menos um” ou “exatamente um”. Se pedir “exatamente um”, a contagem muda (seriam 10 resultados favoráveis, porque tiramos (6,6)), e a probabilidade seria \tfrac{10}{36}=\tfrac{5}{18}. No enunciado comum, sem a palavra “exatamente”, entende-se “pelo menos um”.

Resposta

\Pr(\text{soma}=8)=\dfrac{5}{36}
\Pr(\text{pelo menos um dos dados mostra }6)=\dfrac{11}{36}

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