No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e outro vermelho, determine a probabilidade dos seguintes eventos:
A soma dos pontos é 8 e um dos dados apresenta 6 pontos.
A soma dos pontos é 8 e um dos dados apresenta 6 pontos.
Passo 1
O experimento: lançamento simultâneo de dois dados distintos — um branco e um vermelho. Cada dado pode mostrar um número inteiro de
a
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os dois dados são distintos (importante: o resultado é um par ordenado
). - Cada face de cada dado é igualmente provável.
Perguntas que o enunciado faz (vou responder as duas):
- Qual a probabilidade de que a soma dos pontos seja
? - Qual a probabilidade de que um dos dados apresente
pontos? (interpreto como "pelo menos um dos dados mostra "; se o enunciado quisesse “exatamente um”, normalmente estaria escrito “exatamente um”. Vou resolver para “pelo menos um”.)
Passo 2
Vamos entender o espaço amostral e a regra básica de contagem.
Cada resultado é um par ordenado , onde
é o número do dado branco e
o número do dado vermelho, com
e
. Como os dados são justos e distintos, todos os pares ordenados são igualmente prováveis.
O número total de resultados possíveis é
Cada resultado é um par ordenado
O número total de resultados possíveis é
porque há
possibilidades para o dado branco e
para o vermelho, então
.
Regra de probabilidade para casos equiprováveis: a probabilidade de um evento é
Regra de probabilidade para casos equiprováveis: a probabilidade de um evento é
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de soma igual a
.
Primeiro listamos todos os pares ordenados com
. É importante listar pares ordenados porque os dados são distintos:
Primeiro listamos todos os pares ordenados
Contamos os resultados favoráveis: são
pares. Assim a probabilidade é
Explicando de leve: cada um desses
pares tem probabilidade
, somando
. Isso é direto e dá o resultado final para a primeira pergunta.
Passo 4
Agora a probabilidade de que “um dos dados apresenta
pontos” (interpretação: pelo menos um mostra
). Vou apresentar duas formas — por enumeração direta e por complemento — porque é útil ver as duas no exame.
Enumeração direta:
- Resultados com
no dado branco: → resultados. - Resultados com
no dado vermelho (e branco diferente de , para não repetir ): → resultados adicionais.
Total de resultados favoráveis =. Logo a probabilidade é
Pelo método do complemento (mais elegante às vezes): o evento complementar de “pelo menos um 6” é “nenhum dos dados mostra 6”. A probabilidade de um dado não mostrar 6 é
; como os lançamentos são independentes,
Logo
mesmo resultado. Esse método é muito útil quando “nenhum” é mais fácil de contar do que “pelo menos um”.
Passo 5
Resumo rápido e dica: sempre confirme se o problema pede “pelo menos um” ou “exatamente um”. Se pedir “exatamente um”, a contagem muda (seriam
resultados favoráveis, porque tiramos
), e a probabilidade seria
. No enunciado comum, sem a palavra “exatamente”, entende-se “pelo menos um”.