Um novo exame para detectar certa doença foi testado em trezentas pessoas, sendo duzentas sadias e cem portadoras de tal doença.
Após o teste verificou-se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento e setenta resultaram negativos, e dos laudos referentes a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram positivos.
a) Sorteando ao acaso um desses trezentos laudos, calcule a probabilidade de que ele seja positivo.
b) Sorteado um desses 300 laudos, verificou-se que ele era positivo. Determine a probabilidade de que a pessoa correspondente ao laudo sorteado tenha realmente a doença.

Passo 1

O enunciado dá um experimento com 300 laudos no total, com as seguintes informações:
  • Número de pessoas sadias: 200.
  • Número de pessoas portadoras da doença: 100.
  • Entre as pessoas sadias, 170 laudos foram negativos. (Logo, os restantes entre os sadios são positivos.)
  • Entre as pessoas portadoras, 90 laudos foram positivos. (Logo, os restantes entre os doentes são negativos.)
As perguntas são:
a) Sorteando ao acaso um dos 300 laudos, qual a probabilidade de que ele seja positivo?
b) Sorteado um desses 300 laudos e sabendo que ele é positivo, qual a probabilidade de que a pessoa correspondente tenha realmente a doença?
Vou seguir passo a passo, explicando o raciocínio e os conceitos necessários para você entender e conseguir aplicar numa prova.

Passo 2

Primeiro vamos completar as contagens que faltam (isso é prático e evita confusão):
  • Dos 200 sadios, 170 deram negativo, então o número de falsos positivos (sadios com laudo positivo) é
200-170 = 30.
  • Das 100 pessoas doentes, 90 deram positivo, então o número de falsos negativos (doentes com laudo negativo) é
100-90 = 10.
Agora temos a distribuição completa:
  • Positivos verdadeiros (doentes com laudo positivo): 90.
  • Falsos positivos (sadios com laudo positivo): 30.
  • Total de positivos (somando os dois): 90+30=120.
  • Total de negativos: 300-120=180.
Explicação rápida: é muitas vezes mais simples trabalhar com contagens absolutas quando o enunciado dá números, porque probabilidades virão como frações desses totais.

Passo 3

a) Calcular a probabilidade de sortear um laudo positivo.
Definição prática de probabilidade nesse contexto: a probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos igualmente possíveis. Aqui os casos igualmente possíveis são os 300 laudos.
O número de laudos positivos é 120 (vimos no passo anterior). Portanto
\mathbb{P}(\text{positivo})=\frac{120}{300}.
Agora simplificamos a fração:
\frac{120}{300}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}.
Convertendo para número decimal (útil em prova ou interpretação):
\frac{2}{5}=0,4.
Interpretação: a chance de pegar um laudo positivo ao acaso é 40\%.

Passo 4

Antes de calcular a probabilidade pedida na parte (b), vou explicar o conceito que vamos usar: probabilidade condicional e uma forma direta de raciocinar com contagens.
  • Probabilidade condicional \mathbb{P}(A\mid B) significa “probabilidade de A acontecer sabendo que B já aconteceu”. A definição em termos de contagens (ou probabilidades clássicas) é
\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.
No nosso problema, queremos \mathbb{P}(\text{doença}\mid \text{positivo})ç.
  • Uma forma muito prática quando se trabalha com tabelas de contingência (contagens) é: dado que sabemos que o laudo é positivo, restringimos o universo aos laudos positivos e contamos quantos desses positivos correspondem a pessoas doentes. Ou seja,
\mathbb{P}(\text{doença}\mid \text{positivo})=\frac{\text{número de positivos que são de doentes}}{\text{número total de positivos}}.çúãú
Isso é exatamente a aplicação da definição de probabilidade condicional usando contagens.

Passo 5

Aplicando a ideia do passo anterior diretamente com os números que já temos:
  • Número de positivos que vêm de pessoas doentes: 90.
  • Número total de positivos: 120.
Logo
\mathbb{P}(\text{doença}\mid \text{positivo})=\frac{90}{120}.ç
Simplificando a fração:
\frac{90}{120}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.
Convertendo para decimal:
\frac{3}{4}=0,75.
Interpretação rápida: dado que um laudo saiu positivo, há 75\% de chance de que a pessoa realmente tenha a doença.

Passo 6

Vou mostrar também (por completude) como isso se encaixa na fórmula de Bayes / probabilidade total, caso queira lembrar para a prova:
  • Probabilidade de ser doente: \mathbb{P}(\text{doença})=\frac{100}{300}=\frac{1}{3}ç.
  • Probabilidade de resultado positivo dado doença (sensibilidade): \mathbb{P}(\text{positivo}\mid \text{doença})=\frac{90}{100}=0,9ç.
  • Já calculamos \mathbb{P}(\text{positivo})=0,4.
Pelo teorema de Bayes,
\mathbb{P}(\text{doença}\mid \text{positivo})=\frac{\mathbb{P}(\text{positivo}\mid \text{doença})\cdot\mathbb{P}(\text{doença})}{\mathbb{P}(\text{positivo})} =\frac{0,9\cdot \tfrac{1}{3}}{0,4}=\frac{0,3}{0,4}=0,75,ççç
o mesmo resultado que obtivemos por contagem direta. Usar contagens costuma ser mais rápido quando o enunciado dá números absolutos.

Passo 7

Comentário final de incentivo: você fez certo em pedir uma explicação detalhada — problemas com probabilidades condicionais são muito comuns nas provas e raciocinar com contagens e com a fórmula de Bayes/resumo é uma habilidade prática. Repasse rapidamente os passos: montar a tabela de contagens, calcular totais, usar definição de probabilidade e, para condicional, dividir o caso favorável pelo universo já condicionado. Você consegue!

Resposta

(a) \dfrac{120}{300}=\dfrac{2}{5}=0,4
(b) \dfrac{90}{120}=\dfrac{3}{4}=0,75

Exercícios relacionados