Um novo exame para detectar certa doença foi testado em trezentas pessoas, sendo duzentas sadias e cem portadoras de tal doença.
Após o teste verificou-se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento e setenta resultaram negativos, e dos laudos referentes a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram positivos.
a) Sorteando ao acaso um desses trezentos laudos, calcule a probabilidade de que ele seja positivo.
b) Sorteado um desses 300 laudos, verificou-se que ele era positivo. Determine a probabilidade de que a pessoa correspondente ao laudo sorteado tenha realmente a doença.
Após o teste verificou-se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento e setenta resultaram negativos, e dos laudos referentes a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram positivos.
a) Sorteando ao acaso um desses trezentos laudos, calcule a probabilidade de que ele seja positivo.
b) Sorteado um desses 300 laudos, verificou-se que ele era positivo. Determine a probabilidade de que a pessoa correspondente ao laudo sorteado tenha realmente a doença.
Passo 1
O enunciado dá um experimento com
laudos no total, com as seguintes informações:
- Número de pessoas sadias:
. - Número de pessoas portadoras da doença:
. - Entre as pessoas sadias,
laudos foram negativos. (Logo, os restantes entre os sadios são positivos.) - Entre as pessoas portadoras,
laudos foram positivos. (Logo, os restantes entre os doentes são negativos.)
As perguntas são:
a) Sorteando ao acaso um dos laudos, qual a probabilidade de que ele seja positivo?
b) Sorteado um desses laudos e sabendo que ele é positivo, qual a probabilidade de que a pessoa correspondente tenha realmente a doença?
a) Sorteando ao acaso um dos
b) Sorteado um desses
Vou seguir passo a passo, explicando o raciocínio e os conceitos necessários para você entender e conseguir aplicar numa prova.
Passo 2
Primeiro vamos completar as contagens que faltam (isso é prático e evita confusão):
- Dos
sadios, deram negativo, então o número de falsos positivos (sadios com laudo positivo) é
- Das
pessoas doentes, deram positivo, então o número de falsos negativos (doentes com laudo negativo) é
Agora temos a distribuição completa:
- Positivos verdadeiros (doentes com laudo positivo):
. - Falsos positivos (sadios com laudo positivo):
. - Total de positivos (somando os dois):
. - Total de negativos:
.
Explicação rápida: é muitas vezes mais simples trabalhar com contagens absolutas quando o enunciado dá números, porque probabilidades virão como frações desses totais.
Passo 3
a) Calcular a probabilidade de sortear um laudo positivo.
Definição prática de probabilidade nesse contexto: a probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos igualmente possíveis. Aqui os casos igualmente possíveis são os
laudos.
O número de laudos positivos é
(vimos no passo anterior). Portanto
Agora simplificamos a fração:
Convertendo para número decimal (útil em prova ou interpretação):
Interpretação: a chance de pegar um laudo positivo ao acaso é
.
Passo 4
Antes de calcular a probabilidade pedida na parte (b), vou explicar o conceito que vamos usar: probabilidade condicional e uma forma direta de raciocinar com contagens.
- Probabilidade condicional
significa “probabilidade de acontecer sabendo que já aconteceu”. A definição em termos de contagens (ou probabilidades clássicas) é
No nosso problema, queremos
.
- Uma forma muito prática quando se trabalha com tabelas de contingência (contagens) é: dado que sabemos que o laudo é positivo, restringimos o universo aos laudos positivos e contamos quantos desses positivos correspondem a pessoas doentes. Ou seja,
Isso é exatamente a aplicação da definição de probabilidade condicional usando contagens.
Passo 5
Aplicando a ideia do passo anterior diretamente com os números que já temos:
- Número de positivos que vêm de pessoas doentes:
. - Número total de positivos:
.
Logo
Simplificando a fração:
Convertendo para decimal:
Interpretação rápida: dado que um laudo saiu positivo, há
de chance de que a pessoa realmente tenha a doença.
Passo 6
Vou mostrar também (por completude) como isso se encaixa na fórmula de Bayes / probabilidade total, caso queira lembrar para a prova:
- Probabilidade de ser doente:
. - Probabilidade de resultado positivo dado doença (sensibilidade):
. - Já calculamos
.
Pelo teorema de Bayes,
o mesmo resultado que obtivemos por contagem direta. Usar contagens costuma ser mais rápido quando o enunciado dá números absolutos.
Passo 7
Comentário final de incentivo: você fez certo em pedir uma explicação detalhada — problemas com probabilidades condicionais são muito comuns nas provas e raciocinar com contagens e com a fórmula de Bayes/resumo é uma habilidade prática. Repasse rapidamente os passos: montar a tabela de contagens, calcular totais, usar definição de probabilidade e, para condicional, dividir o caso favorável pelo universo já condicionado. Você consegue!
Resposta
(a)
(b)
(b)