Dois jogadores, Kleber e Arnaldo, lançam um dado, uma única vez cada um. Vence o jogo quem tirar o maior número. Sabendo que Kleber tirou 4, qual a probabilidade de:
a) Kleber vencer o jogo?
b) Haver empate?
c)Arnaldo vencer o jogo?

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:
  • Dois jogadores, Kleber e Arnaldo, lançam um dado comum (faces 1 a 6), uma única vez cada um.
  • Sabemos que Kleber tirou \,4.
  • Perguntas:
    (a) Qual a probabilidade de Kleber vencer o jogo?
    (b) Qual a probabilidade de haver empate?
    (c) Qual a probabilidade de Arnaldo vencer o jogo?
  • Informação relevante extraída do enunciado: Arnaldo tem uma única jogada com possíveis resultados \{1,2,3,4,5,6\}. Pressupomos que cada face do dado é igualmente provável (probabilidade igual para cada face) e que o resultado de Arnaldo independe do resultado já conhecido de Kleber.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Quando todas as possibilidades são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\#\text{casos favoráveis}}{\#\text{casos possíveis}}.áí
Aqui a variável aleatória que nos interessa é o resultado do lançamento de Arnaldo; chamemos esse resultado de \,A.
  • Como o dado é justo, para qualquer k\in\{1,2,3,4,5,6\} vale
P(A=k)=\frac{1}{6}.
  • Estamos condicionando ao fato de que Kleber já tirou \,4. Mas isso não altera as probabilidades do lançamento de Arnaldo (independência). Portanto, para calcular as três probabilidades pedidas basta contar, entre as 6 faces possíveis de Arnaldo, quantas levam a cada um dos três resultados (vitória de Kleber, empate, vitória de Arnaldo) e dividir por 6.

Passo 3

Calcular a probabilidade de Kleber vencer:
  • Kleber tem \,4. Para Kleber vencer precisamos que Arnaldo tire um número menor que 4, ou seja A\in\{1,2,3\}.
  • Número de casos favoráveis: 3.
  • Número de casos possíveis: 6.
  • Logo
P(\text{Kleber vence}\mid \text{Kleber}=4)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.
Explicação extra: contei explicitamente as faces menores que 4: 1,2,3 — são três possibilidades igualmente prováveis.

Passo 4

Calcular a probabilidade de empate:
  • Empate ocorre quando Arnaldo tira exatamente 4, isto é A=4.
  • Número de casos favoráveis: 1.
  • Número de casos possíveis: 6.
  • Logo
P(\text{empate}\mid \text{Kleber}=4)=\frac{1}{6}\approx0,166\ldots
Explicação extra: só há uma face que produz empate (a face 4).

Passo 5

Calcular a probabilidade de Arnaldo vencer:
  • Arnaldo vence se tirar número maior que 4, isto é A\in\{5,6\}.
  • Número de casos favoráveis: 2.
  • Número de casos possíveis: 6.
  • Logo
P(\text{Arnaldo vence}\mid \text{Kleber}=4)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx0,333\ldots
Explicação extra: as faces 5 e 6 são as únicas que fazem Arnaldo ganhar.

Passo 6

Checagem de consistência:
  • Somando as três probabilidades obtemos
\frac{3}{6}+\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{6}{6}=1,
o que confirma que as três possibilidades (Kleber vence, empate, Arnaldo vence) cobrem todo o espaço de resultados possíveis de Arnaldo — bom sinal!

Passo 7

Dica rápida para a prova (generalização):
  • Se Kleber tivesse tirado um valor genérico \,k\in\{1,\dots,6\}, as probabilidades seriam
P(\text{Kleber vence})=\frac{k-1}{6},\qquad P(\text{empate})=\frac{1}{6},\qquad P(\text{Arnaldo vence})=\frac{6-k}{6}.
Isso facilita cálculos rápidos sem refazer contagens.

Resposta

(a) \frac{1}{2}=0,5
(b) \frac{1}{6}\approx0,166\ldots
(c) \frac{1}{3}\approx0,333\ldots

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