Dois jogadores, Kleber e Arnaldo, lançam um dado, uma única vez cada um. Vence o jogo quem tirar o maior número. Sabendo que Kleber tirou 4, qual a probabilidade de:
a) Kleber vencer o jogo?
b) Haver empate?
c)Arnaldo vencer o jogo?
a) Kleber vencer o jogo?
b) Haver empate?
c)Arnaldo vencer o jogo?
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:
- Dois jogadores, Kleber e Arnaldo, lançam um dado comum (faces
a ), uma única vez cada um. - Sabemos que Kleber tirou
. - Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de Kleber vencer o jogo?
(b) Qual a probabilidade de haver empate?
(c) Qual a probabilidade de Arnaldo vencer o jogo? - Informação relevante extraída do enunciado: Arnaldo tem uma única jogada com possíveis resultados
. Pressupomos que cada face do dado é igualmente provável (probabilidade igual para cada face) e que o resultado de Arnaldo independe do resultado já conhecido de Kleber.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicado passo a passo):
- Quando todas as possibilidades são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
Aqui a variável aleatória que nos interessa é o resultado do lançamento de Arnaldo; chamemos esse resultado de
.
- Como o dado é justo, para qualquer
vale
- Estamos condicionando ao fato de que Kleber já tirou
. Mas isso não altera as probabilidades do lançamento de Arnaldo (independência). Portanto, para calcular as três probabilidades pedidas basta contar, entre as faces possíveis de Arnaldo, quantas levam a cada um dos três resultados (vitória de Kleber, empate, vitória de Arnaldo) e dividir por .
Passo 3
Calcular a probabilidade de Kleber vencer:
- Kleber tem
. Para Kleber vencer precisamos que Arnaldo tire um número menor que , ou seja . - Número de casos favoráveis:
. - Número de casos possíveis:
. - Logo
Explicação extra: contei explicitamente as faces menores que
:
— são três possibilidades igualmente prováveis.
Passo 4
Calcular a probabilidade de empate:
- Empate ocorre quando Arnaldo tira exatamente
, isto é . - Número de casos favoráveis:
. - Número de casos possíveis:
. - Logo
Explicação extra: só há uma face que produz empate (a face
).
Passo 5
Calcular a probabilidade de Arnaldo vencer:
- Arnaldo vence se tirar número maior que
, isto é . - Número de casos favoráveis:
. - Número de casos possíveis:
. - Logo
Explicação extra: as faces
e
são as únicas que fazem Arnaldo ganhar.
Passo 6
Checagem de consistência:
- Somando as três probabilidades obtemos
o que confirma que as três possibilidades (Kleber vence, empate, Arnaldo vence) cobrem todo o espaço de resultados possíveis de Arnaldo — bom sinal!
Passo 7
Dica rápida para a prova (generalização):
- Se Kleber tivesse tirado um valor genérico
, as probabilidades seriam
Isso facilita cálculos rápidos sem refazer contagens.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)